黑書上給出了關於求點割集的演算法，但是比較模糊，我查閱了網路上的相關資料，理解了求點割集的過程，寫出如下求點割集的程式碼,並寫了一些簡單的證明.

割點集的定義：如果在連通圖G中去掉某一點後圖不連通，那麼這個點即為G的割點，所有割點的集合即為點割集。

求點割集的方法：利用tarjan演算法的思想，用陣列dfn[v]儲存DFS遍歷到點v的時間,陣列low[v]儲存點v能追溯到最早的祖先節點。

如果對於點v來說有如下結論：

1.如果點v是DFS序列的根節點，則如果v有一個以上的孩子，則v是一個割點。

2.如果v不是DFS序列根節點，並且點v的任意後繼u能追溯到最早的祖先節點low[u]>=dfn[v]，則v是一個割點。

證明1:

       假設DFS遍歷的第一個節點v不是割點，那麼則有low[v]=dfn[v]=1，繼續對v的孩子節點u遍歷，必然有low[u]>=dfn[v]，按照第二條性質，則v是割點，但我們已經假設v不是割點。這是由於v是DFS遍歷的起始節點，在遍歷序列中v沒有祖先節點，v的所有後繼節點能追溯到最早的祖先節點最多也就是v了，不可能比v再早了，因此必須把DFS遍歷的第一個節點v單獨考慮，那麼怎麼判斷v是不是割點呢？

      例如上圖，設v是DFS序列訪問的第一個節點，對v的孩子節點u和u的所有孩子節點進行DFS遍歷並標記為已經訪問後，如果v的另一個孩子節點k沒有被標記為已經訪問，那麼u和k之間一定不存在邊，也就是說u和k之間的連通必然需要點v，因此如果v是DFS遍歷的第一個節點，對v是否為割點的判斷方法是：看v是不是有多個孩子，如果有則v是割點。

證明2:

      如果v不是DFS遍歷的第一個節點，那麼對於v的所有後繼節點來說，如果v不是割點（也就是如果刪掉點v，剩下的圖還是連通圖），那麼v的後繼節點必然能追溯到DFS遍歷序列中v的祖先節點，也就是v的後繼節點中存在到達DFS序列中v的祖先的路徑，因此當DFS回溯到v節點時對於v的所有後繼節點u來說，都有low[u]<dfn[v]。

      如果v是一個割點，對所有v的後繼節點u進行DFS後，必然有low[u]>=dfn[v]，這是因為，當遍歷v並將其鎖定後，到達v的祖先節點的路徑已經被封死，v的後繼節點必然不可能訪問到v的祖先節點，因此，必然有low[u]>=dfn[v]。

有了上面的分析，下面寫出求無向圖點割集的程式碼：

#include<iostream> using namespace std; struct L { int v; L *next; }; class HEAD { public: int id; L *next; HEAD(){ id=0; next=NULL;} }; HEAD head[1000]; int dfn[1000],low[1000],t; bool lock[1000],C[1000]; void find(int father,int v) { int count=0; /*統計v的孩子數*/ dfn[v]=low[v]=++t; /*將訪問時間賦給dfn[v]和low[v]*/ lock[v]=false; /*標記v點已經訪問過,不能再被訪問*/ for(L *p=head[v].next;p!=NULL;p=p->next) { if(lock[p->v]) /*如果v的直接後繼節點沒有訪問過，則對其遍歷*/ { find(v,p->v); /*對v的直接後繼遍歷*/ count++; /* 孩子數+1 */ if(low[v]>low[p->v]) /*如果v的孩子能追溯到更早的祖先,則v也能追溯到*/ low[v]=low[p->v]; } else if(p->v!=father&&low[p->v]<low[v]) /*如果v的直接孩子節點已經被訪問過*/ low[v]=low[p->v]; if(!father&&count>1) /*如果當前節點是DFS遍歷到的第一個節點,則判斷其是否有多個孩子*/ C[v]=true; else if(father&&dfn[v]<=low[p->v]) /*否則判斷其後繼能否追溯到v的祖先*/ C[v]=true; } } int main() { int n,i,a,b; cin>>n; while(cin>>a>>b&&a&&b) /*建立鄰接表,輸入無向圖邊每條a b,以0 0結束*/ { L *p=new L; p->next=head[b].next; head[b].next=p; p->v=a; p=new L; p->next=head[a].next; head[a].next=p; p->v=b; head[b].id++; head[a].id++; } memset(lock,true,sizeof(lock)); memset(dfn,0,sizeof(int)*1000); memset(C,0,sizeof(C)); /*C陣列用來標記那些點是割點,剛開始全部置為false*/ t=0; /*訪問時間*/ find(0,1);/*開始對1號點DFS,第一個遍歷的前驅節點設為0*/ for(i=1;i<=n;i++) /*輸入割點*/ if(C[i]) cout<<i<<' '; cout<<endl; }