1 金鑰和公鑰生成過程

• 隨機找出兩個不同的質數（越大越好）p，q。
• n=p*q,根據尤拉函式，有
• 隨機找出一個數e，使
• 計算e對於模反元素d，即找出d，使
• （e，n）為公鑰，（d，n）為金鑰

2 加密和解密過程

假設待加密資料為m（必須小於n，如果大於，採用分段加密方式解決）。

加密資料:

解密密文：

3 數學基礎

3.1 同餘定理

如果兩個整數a和b，(a-b)能被m整除，則a和b被m除的餘數相同，記做

如果有，則

同餘定理性質：

性質1：a≡a（mod m），（反身性）
這個性質很顯然.因為a-a=0=m·0。
性質2：若a≡b（mod m），那麼b≡a（mod m），（對稱性）。
性質3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那麼a≡c（mod m），（傳遞性）。
性質4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那麼a±c≡b±d（mod m），（可加減性）。
性質5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那麼ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性質6：若a≡b（mod m），那麼an≡bn（mod m），（其中n為自然數）。
性質7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那麼a≡b（mod m），（記號（c，m）表示c與m的最大公約數）。
性質8：若a≡b（mod m），那麼a的n次方和b的n次方也對於m同餘。
性質9：若a≡b（mod m）、c≡d（mod m）、e≡f（mod m）……x≡y（mod m）
 

3.2 冪同餘定理(同餘定理可乘性)

根據：

同餘定理可乘性：

若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那麼ac≡bd（mod m）

另c=a,d=b,則

3.3 費馬小定理

假如p是質數，且gcd(a,p)=1，即a,p互質，那麼 

3.4 尤拉定理和尤拉函式

如果兩個正整數a和n互質，則：

其中φ(n)稱為n的尤拉函式，代表小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係。

φ(n) 的計算方法分為四種情況：

• 第一種情況

如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為1與任何數（包括自身）都構成互質關係。

• 第二種情況

如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每一個數，都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。

當n為質數時，則尤拉定理退化為費馬小定理，即費馬小定理是尤拉定理的特殊情況。

• 第三種情況

如果n是質數的某一個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大於等於1的整數)，則

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

這是因為只有當一個數不包含質數p，才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p^(k-1)個，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它們去除，剩下的就是與n互質的數。

上面的式子還可以寫成下面的形式：

可以看出，上面的第二種情況是 k=1 時的特例。

• 第四種情況

如果n可以分解成兩個互質的整數之積，

n = p1 × p2
 

則

φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即積的尤拉函式等於各個因子的尤拉函式之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

4 加密原理數學證明

證明加密的數學原理正確，需要證明：

當密文采用計算方法：，則資料可以通過密文和金鑰解出：

其中n=p*q，p,q為不相同的兩個隨機質數，m為需要加密的資料，m滿足m<n

由，根據同餘定理知

代入得

根據同餘定理：

因為kn帶有n因子，所以只能

整除n

所以需要證明

因為(d為e對於模反元素)

所以需要證明：

a 如果m與n互質，根據尤拉定理：

又冪同餘定理得和同餘定理乘法定理得：

即

得證。

b 如果m和n不是互質關係

因為m<n,m和n不是互質關係，又n=pq，p,q都為質數，

所以m必然包含p或q因子，即

m=kp或m=kq

假定m=kp，m必然與q互質（不可能同時包含因子p和因子q，否則必然不可能小於n=pq；而一個質數，另一個不為它的倍數，這兩個數為互質數）

由尤拉定理得：

根據冪同餘定理：

即：

根據模反元素的定義

所以：

根據同餘定理：

兩邊同時除於m

左邊為整數，m和q互質，則t必然包含因子m，即

所以

所以

得證