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樸素貝葉斯及其數學推導

阿新 • • 發佈：2019-01-31

一、樸素貝葉斯簡單介紹

樸素貝葉斯成立的前提是條件獨立性假設：分類的特徵xi在類別確定的條件下都是獨立的，用公式表示如下：

P(X=xi|Y=ck)=P(X=x1i,X=x2i,⋯,X=xni|Y=ck)=∏j=1nP(X(j)=xji|Y=ck)
其中ck是類別，假設有K個類，n是樣本的維度，xi是輸入樣本

樸素貝葉斯法表示如下：

y=argmaxckP(Y=ck)∏j=1nP(X(j)=xji|Y=ck)

二、貝葉斯決策論

介紹樸素貝葉斯中最大化後驗概率的來源
樸素貝葉斯選擇0-1損失函式作為評價標準，0-1損失函式表示如下：

L(Y,f(X))={
0,1,Y = f(X)Y ≠ f(X)
其中f(X)是分類決策函式
期望損失：Rexp(f)=E(L(Y,f(x))),顯然對每個樣本x最小化條件風險，則期望損失最小，下面證明期望損失最小化等價於後驗概率最大化：
f(x)=argminy∈Y∑i=1KL(ck,y)P(y=ck|X=x)=argminy∈Y∑i=1KP(y≠ck|X=x)=argminy∈Y∑i=1K(1−P(y=ck|X=x))=argmaxy∈Y∑i=1KP(y=ck|X=x)
得到後驗概率最大化準則：
f(x)==argmaxy∈Y∑i=1KP(y=ck|X=x)
其中Y={c1,c2,⋯,cK},K是類別個數

三、引數估計

方法1：極大似然估計

下面先給出結果，再證明
先驗概率估計：

P(Y=ck)=∑<

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