-Y' X’ 0 0 0 -1]

#include <iostream>//輸入輸出流
// opencv
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <opencv2/features2d/features2d.hpp>
#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include <opencv2/calib3d/calib3d.hpp>
// Eigen3 矩陣
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
#include <Eigen/SVD>
// 非線性優化演算法  圖優化 G2O
#include <g2o/core/base_vertex.h>//頂點
#include <g2o/core/base_unary_edge.h>//邊
#include <g2o/core/block_solver.h>//矩陣塊 分解 求解器  矩陣空間 對映  分解
#include <g2o/core/optimization_algorithm_gauss_newton.h>//高斯牛頓法
#include <g2o/solvers/eigen/linear_solver_eigen.h>// 矩陣優化
#include <g2o/types/sba/types_six_dof_expmap.h>// 定義好的頂點型別 和 誤差 變數更新演算法  6維度 優化變數  例如 相機 位姿
#include <chrono>//演算法計時

using namespace std;//標準庫　名稱空間
using namespace cv; //opencv庫名稱空間

//特徵匹配 計算匹配點對
void find_feature_matches (
    const Mat& img_1, const Mat& img_2,
    std::vector<KeyPoint>& keypoints_1,
    std::vector<KeyPoint>& keypoints_2,
    std::vector< DMatch >& matches );

// 畫素座標轉相機歸一化座標
Point2d pixel2cam ( const Point2d& p, const Mat& K );

//ICP求解 3D- 3D 點對 求解 R T 使用 線性代數SVD奇異值分解
void pose_estimation_3d3d (
    const vector<Point3f>& pts1,//3D
    const vector<Point3f>& pts2,//3D
    Mat& R, Mat& t//求解得到的 旋轉矩陣 和 平移矩陣
);

//g2o_BundleAdjustment 優化   計算旋轉和平移
//ICP演算法求解3D-3D點對的 轉換矩陣後使用  圖優化 進行優化
void bundleAdjustment (
    const vector< Point3f >& pts1,//3D點
    const vector< Point3f >& pts2,//3D點
    Mat& R, Mat& t//初始R T 以及優化更新後 的 量
);

// 需自定義 邊型別  誤差項g2o edge
// 誤差模型—— 曲線模型的邊, 模板引數：觀測值維度(輸入的引數維度)，型別，連線頂點型別(優化變數系統定義好的頂點 或者自定義的頂點)
// 3D點—3D點的邊
class EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly : public g2o::BaseUnaryEdge<3, Eigen::Vector3d, g2o::VertexSE3Expmap>//基礎一元 邊型別
{
public:
    EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW;// 類成員 有Eigen  變數時需要 顯示 加此句話 巨集定義
    EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly( const Eigen::Vector3d& point ) : _point(point) {}//直接賦值  觀測值  3D點
   // 誤差計算
    virtual void computeError()
    {
        const g2o::VertexSE3Expmap* pose = static_cast<const g2o::VertexSE3Expmap*> ( _vertices[0] );//0號頂點為 位姿    型別強轉
        // measurement is p, point is p'
        _error = _measurement - pose->estimate().map( _point );//對觀測點 進行 變換 後 與測量值做差 得到 誤差
    }
    
   // 3d-3d自定義求解器 
    virtual void linearizeOplus()
    {
        g2o::VertexSE3Expmap* pose = static_cast<g2o::VertexSE3Expmap *>(_vertices[0]);//0號頂點為 位姿    型別強轉
        g2o::SE3Quat T(pose->estimate());//得到 變換矩陣
        Eigen::Vector3d xyz_trans = T.map(_point);//對點進行變換
        double x = xyz_trans[0];//變換後的 x  y  z
        double y = xyz_trans[1];
        double z = xyz_trans[2];
        // 3×6的雅克比矩陣  誤差  對應的 導數  優化變數更新 增量
	/*
	*  P'對∇f的偏導數 = [ I  -P'叉乘矩陣] 3*6大小   平移在前  旋轉在後
	*  = [ 1 0  0   0   Z'   -Y' 
	*       0 1  0  -Z'  0    X'
	*       0 0  1  Y'   -X   0]
	* 旋轉在前  平移在後
	*  = [   0   Z'   -Y' 1 0  0 
	*        -Z'  0    X'  0 1  0 
	*         Y'   -X   0  0 0  1]
	* 
	* J = - P'對∇f的偏導數
	*  = [   0   -Z'   Y'  -1  0  0 
	*         Z'   0    -X'  0 -1  0 
	*         -Y'  X’    0   0  0 -1]
	*/
        _jacobianOplusXi(0,0) = 0;
        _jacobianOplusXi(0,1) = -z;
        _jacobianOplusXi(0,2) = y;
        _jacobianOplusXi(0,3) = -1;
        _jacobianOplusXi(0,4) = 0;
        _jacobianOplusXi(0,5) = 0;
        
        _jacobianOplusXi(1,0) = z;
        _jacobianOplusXi(1,1) = 0;
        _jacobianOplusXi(1,2) = -x;
        _jacobianOplusXi(1,3) = 0;
        _jacobianOplusXi(1,4) = -1;
        _jacobianOplusXi(1,5) = 0;
        
        _jacobianOplusXi(2,0) = -y;
        _jacobianOplusXi(2,1) = x;
        _jacobianOplusXi(2,2) = 0;
        _jacobianOplusXi(2,3) = 0;
        _jacobianOplusXi(2,4) = 0;
        _jacobianOplusXi(2,5) = -1;
    }

    bool read ( istream& in ) {}
    bool write ( ostream& out ) const {}
    
protected:
    Eigen::Vector3d _point;
};

int main ( int argc, char** argv )
{
    if ( argc != 5 )
    {
        cout<<"用法: 。、pose_estimation_3d3d img1 img2 depth1 depth2"<<endl;
        return 1;
    }
    //-- 讀取影象
    Mat img_1 = imread ( argv[1], CV_LOAD_IMAGE_COLOR );//彩色
    Mat img_2 = imread ( argv[2], CV_LOAD_IMAGE_COLOR );
    // 關鍵點 匹配點對
    vector<KeyPoint> keypoints_1, keypoints_2;//關鍵點
    vector<DMatch> matches;//匹配點對
    find_feature_matches ( img_1, img_2, keypoints_1, keypoints_2, matches );
    cout<<"一共找到了"<<matches.size() <<"組匹配點"<<endl;

    // 利用深度資訊 對二位點對建立3D點對
    Mat depth1 = imread ( argv[3], CV_LOAD_IMAGE_UNCHANGED );       // 深度圖為16位無符號數，單通道影象
    Mat depth2 = imread ( argv[4], CV_LOAD_IMAGE_UNCHANGED );       // 深度圖為16位無符號數，單通道影象
    Mat K = ( Mat_<double> ( 3,3 ) << 520.9, 0, 325.1, 0, 521.0, 249.7, 0, 0, 1 );// 相機內參,TUM Freiburg2
    vector<Point3f> pts1, pts2;
    for ( DMatch m:matches )
    {
      //深度
        ushort d1 = depth1.ptr<unsigned short> ( int ( keypoints_1[m.queryIdx].pt.y ) ) [ int ( keypoints_1[m.queryIdx].pt.x ) ];
        ushort d2 = depth2.ptr<unsigned short> ( int ( keypoints_2[m.trainIdx].pt.y ) ) [ int ( keypoints_2[m.trainIdx].pt.x ) ];
        if ( d1==0 || d2==0 )   // bad depth
            continue;
        Point2d p1 = pixel2cam ( keypoints_1[m.queryIdx].pt, K );//畫素點轉換成 相機座標系下點
        Point2d p2 = pixel2cam ( keypoints_2[m.trainIdx].pt, K );//(x,y,1) 歸一化座標平面上的點
        float dd1 = float ( d1 ) /1000.0;//深度 尺度   原來單位為mm 變成 m
        float dd2 = float ( d2 ) /1000.0;
	//3D點
        pts1.push_back ( Point3f ( p1.x*dd1, p1.y*dd1, dd1 ) );//得到三維點
        pts2.push_back ( Point3f ( p2.x*dd2, p2.y*dd2, dd2 ) );
    }

    cout<<"3d-3d 點對數量: "<<pts1.size() <<endl;
    Mat R, t;
    cout<<"3d-3d 點對利用線性代數SVD奇異值分解求解變換矩陣"<<endl;
/*  (1) 計算兩組 點集的質心位置 p  、 p‘ ，然後計算每個點的去質心座標 qi = pi - p    qi’ = pi' - p‘
 *  (2)  min(sum(qi - R * qi')^2)  >>> 得到 旋轉矩陣R    
 *  (3)  有R計算 t   t =  p - R * p'
 * 
 * (qi - R * qi')^2 = qi轉置 * qi   - 2*qi‘轉置 * R * qi  + qi‘轉置 * R轉置* R * qi’ 第一項與R無關 第三項 應為  R轉置* R = I
 * 
 *  qi轉置 * R * qi      W= sum(qi * qi’轉置) = U * 對角矩陣 * V轉置   奇異值分解      R= U * V轉置 
 *   t =  p - R * p'
 */
    pose_estimation_3d3d ( pts1, pts2, R, t );
    cout<<"迭代最近點 ICP 通過 SVD 分解: "<<endl;
    cout<<"2-1 旋轉矩陣 R = "<<R<<endl;//第二張圖到第一張圖的轉換
    cout<<"平移矩陣 t = "<<t<<endl;
    cout<<"1-2 旋轉矩陣 R_inv = "<<R.t() <<endl;//第一張圖到第二張圖的轉換
    cout<<"t_inv = "<<-R.t() *t<<endl;

    cout<<"非線性優化方法  bundle adjustment 求解"<<endl;

    bundleAdjustment( pts1, pts2, R, t );
    
    // 驗證 verify p1 = R*p2 + t
    for ( int i=0; i<5; i++ )
    {
        cout<<"p1 = "<<pts1[i]<<endl;
        cout<<"p2 = "<<pts2[i]<<endl;
        cout<<"(R*p2+t) = "<< 
            R * (Mat_<double>(3,1)<<pts2[i].x, pts2[i].y, pts2[i].z) + t
            <<endl;
        cout<<endl;
    }
}

// 計算特徵點 找到匹配點對
void find_feature_matches ( const Mat& img_1, const Mat& img_2,
                            std::vector<KeyPoint>& keypoints_1,
                            std::vector<KeyPoint>& keypoints_2,
                            std::vector< DMatch >& matches )
{
    //-- 初始化
    Mat descriptors_1, descriptors_2;
    // used in OpenCV3 
    Ptr<FeatureDetector> detector = ORB::create();
    Ptr<DescriptorExtractor> descriptor = ORB::create();
    // use this if you are in OpenCV2 
    // Ptr<FeatureDetector> detector = FeatureDetector::create ( "ORB" );
    // Ptr<DescriptorExtractor> descriptor = DescriptorExtractor::create ( "ORB" );
    Ptr<DescriptorMatcher> matcher  = DescriptorMatcher::create("BruteForce-Hamming");
    //-- 第一步:檢測 Oriented FAST 角點位置
    detector->detect ( img_1,keypoints_1 );
    detector->detect ( img_2,keypoints_2 );

    //-- 第二步:根據角點位置計算 BRIEF 描述子
    descriptor->compute ( img_1, keypoints_1, descriptors_1 );
    descriptor->compute ( img_2, keypoints_2, descriptors_2 );

    //-- 第三步:對兩幅影象中的BRIEF描述子進行匹配，使用 Hamming 距離
    vector<DMatch> match;
   // BFMatcher matcher ( NORM_HAMMING );
    matcher->match ( descriptors_1, descriptors_2, match );

    //-- 第四步:匹配點對篩選
    double min_dist=10000, max_dist=0;

    //找出所有匹配之間的最小距離和最大距離, 即是最相似的和最不相似的兩組點之間的距離
    for ( int i = 0; i < descriptors_1.rows; i++ )
    {
        double dist = match[i].distance;
        if ( dist < min_dist ) min_dist = dist;
        if ( dist > max_dist ) max_dist = dist;
    }

    printf ( "-- Max dist : %f \n", max_dist );
    printf ( "-- Min dist : %f \n", min_dist );

    //當描述子之間的距離大於兩倍的最小距離時,即認為匹配有誤.但有時候最小距離會非常小,設定一個經驗值30作為下限.
    for ( int i = 0; i < descriptors_1.rows; i++ )
    {
        if ( match[i].distance <= max ( 2*min_dist, 30.0 ) )
        {
            matches.push_back ( match[i] );
        }
    }
}

// 畫素座標變換到 相機 歸一化平面上 u，v --->>>  (x,y,1)
Point2d pixel2cam ( const Point2d& p, const Mat& K )
{
    return Point2d
           (
               ( p.x - K.at<double> ( 0,2 ) ) / K.at<double> ( 0,0 ),
               ( p.y - K.at<double> ( 1,2 ) ) / K.at<double> ( 1,1 )
           );
}

// 【1】 線性代數求解  SVD奇異值分解方法
/*  (1) 計算兩組 點集的質心位置 p  、 p‘ ，然後計算每個點的去質心座標 qi = pi - p    qi’ = pi' - p‘
 *  (2)  min(sum(qi - R * qi')^2)  >>> 得到 旋轉矩陣R    
 *  (3)  有R計算 t   t =  p - R * p'
 * 
 * (qi - R * qi')^2 = qi轉置 * qi   - 2*qi‘轉置 * R * qi  + qi‘轉置 * R轉置* R * qi’ 第一項與R無關 第三項 應為  R轉置* R = I
 * 
 *  qi轉置 * R * qi      W= sum(qi * qi’轉置) = U * 對角矩陣 * V轉置   奇異值分解      R= U * V轉置 
 *   t =  p - R * p'
 */
void pose_estimation_3d3d (
    const vector<Point3f>& pts1,//3D點容器
    const vector<Point3f>& pts2,
    Mat& R, Mat& t
)
{
  //【1】 求中心點
    Point3f p1, p2;     //三維點集的中心點  center of mass
    int N = pts1.size(); //點對數量
    for ( int i=0; i<N; i++ )
    {
        p1 += pts1[i];//各維度求和
        p2 += pts2[i];
    }
    p1 = Point3f( Vec3f(p1) /  N);//求均值 得到中心點
    p2 = Point3f( Vec3f(p2) / N);
    // 【2】得到去中心座標
    vector<Point3f>     q1 ( N ), q2 ( N ); // remove the center
    for ( int i=0; i<N; i++ )
    {
        q1[i] = pts1[i] - p1;
        q2[i] = pts2[i] - p2;
    }

    // 【3】計算需要進行奇異值分解的 W = sum(qi * qi’轉置) compute q1*q2^T
    Eigen::Matrix3d W = Eigen::Matrix3d::Zero();
    for ( int i=0; i<N; i++ )
    {
        W += Eigen::Vector3d ( q1[i].x, q1[i].y, q1[i].z ) * Eigen::Vector3d ( q2[i].x, q2[i].y, q2[i].z ).transpose();
    }
    cout<<"W="<<W<<endl;

    // 【4】對  W 進行SVD 奇異值分解
    Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd ( W, Eigen::ComputeFullU|Eigen::ComputeFullV );
    Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU();
    Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV();
    cout<<"U="<<U<<endl;
    cout<<"V="<<V<<endl;
   // 【5】計算旋轉 和平移矩陣 R  和 t 
    //  R= U * V轉置 
    Eigen::Matrix3d R_ = U* ( V.transpose() );
    // t =  p - R * p'
    Eigen::Vector3d t_ = Eigen::Vector3d ( p1.x, p1.y, p1.z ) - R_ * Eigen::Vector3d ( p2.x, p2.y, p2.z );

    // 【6】格式轉換 convert to cv::Mat
    R = ( Mat_<double> ( 3,3 ) <<
          R_ ( 0,0 ), R_ ( 0,1 ), R_ ( 0,2 ),
          R_ ( 1,0 ), R_ ( 1,1 ), R_ ( 1,2 ),
          R_ ( 2,0 ), R_ ( 2,1 ), R_ ( 2,2 )
        );
    t = ( Mat_<double> ( 3,1 ) << t_ ( 0,0 ), t_ ( 1,0 ), t_ ( 2,0 ) );
}

void bundleAdjustment (
    const vector< Point3f >& pts1,
    const vector< Point3f >& pts2,
    Mat& R, Mat& t )
{
    // 初始化g2o
    typedef g2o::BlockSolver< g2o::BlockSolverTraits<6,3> > Block;  // pose維度為 6, landmark 維度為 3
    Block::LinearSolverType* linearSolver = new g2o::LinearSolverEigen<Block::PoseMatrixType>(); // 線性方程求解器
    Block* solver_ptr = new Block( linearSolver );      // 矩陣塊求解器 矩陣分解
    g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton( solver_ptr );
    g2o::SparseOptimizer optimizer;
    optimizer.setAlgorithm( solver );

    // 頂點 vertex
    g2o::VertexSE3Expmap* pose = new g2o::VertexSE3Expmap(); //位姿 camera pose
    pose->setId(0);
    pose->setEstimate( g2o::SE3Quat(
        Eigen::Matrix3d::Identity(),
        Eigen::Vector3d( 0,0,0 )
    ) );
    optimizer.addVertex( pose );//新增頂點

    // 邊 edges
    int index = 1;
    vector<EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly*> edges;//所有的 邊
    for ( size_t i=0; i<pts1.size(); i++ )
    {
        EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly* edge = new EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly( 
            Eigen::Vector3d(pts2[i].x, pts2[i].y, pts2[i].z) );//點2
        edge->setId( index );
        edge->setVertex( 0, dynamic_cast<g2o::VertexSE3Expmap*> (pose) );//頂點
        edge->setMeasurement( Eigen::Vector3d( 
            pts1[i].x, pts1[i].y, pts1[i].z) );// 點1 = T * 點2 = 點1'
        edge->setInformation( Eigen::Matrix3d::Identity()*1e4 );//誤差項係數矩陣  資訊矩陣
        optimizer.addEdge(edge);//向圖中新增邊
        index++;
        edges.push_back(edge);//所有的邊
    }

    chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();//計時開始
    optimizer.setVerbose( true );
    optimizer.initializeOptimization();
    optimizer.optimize(10);// 最大優化次數為10
    chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();//計時結束
    chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2-t1);
    cout<<"optimization costs time: "<<time_used.count()<<" seconds."<<endl;

    cout<<endl<<"優化後的 R t :"<<endl;
    cout<<"變換矩陣 T = "<<endl<<Eigen::Isometry3d( pose->estimate() ).matrix()<<endl;
    
}