為了使得網路中資訊更好的流動，每一層輸出的方差應該儘量相等。

基於這個目標，現在我們就去推導一下：每一層的權重應該滿足哪種條件。

文章先假設的是線性啟用函式，而且滿足0點處導數為1，即

現在我們先來分析一層卷積：

其中ni表示輸入個數。

根據概率統計知識我們有下面的方差公式：

特別的，當我們假設輸入和權重都是0均值時（目前有了BN之後，這一點也較容易滿足），上式可以簡化為：

進一步假設輸入x和權重w獨立同分布，則有：

於是，為了保證輸入與輸出方差一致，則應該有：

對於一個多層的網路，某一層的方差可以用累積的形式表達：

特別的，反向傳播計算梯度時同樣具有類似的形式：

綜上，為了保證前向傳播和反向傳播時每一層的方差一致，應滿足：

但是，實際當中輸入與輸出的個數往往不相等，於是為了均衡考量，最終我們的權重方差應滿足：

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學過概率統計的都知道 [a,b] 間的均勻分佈的方差為：

因此，Xavier初始化的實現就是下面的均勻分佈：

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下面，我們來看一下caffe中具體是怎樣實現的，程式碼位於include/caffe/filler.hpp檔案中。

template <typename Dtype>
class XavierFiller : public Filler<Dtype> {
 public:
  explicit XavierFiller(const FillerParameter& param)
      : Filler<Dtype>(param) {}
  virtual void Fill(Blob<Dtype>* blob) {
    CHECK
 
(blob->count());
    int fan_in = blob->count() / blob->num();
    int fan_out = blob->count() / blob->channels();
    Dtype n = fan_in;  // default to fan_in
    if (this->filler_param_.variance_norm() ==
        FillerParameter_VarianceNorm_AVERAGE) {
      n = (fan_in + fan_out) / Dtype(2);
    } else if (this->filler_param_.variance_norm() ==
        FillerParameter_VarianceNorm_FAN_OUT) {
      n = fan_out;
    }
    Dtype scale = sqrt(Dtype(3) / n);
    caffe_rng_uniform<Dtype>(blob->count(), -scale, scale,
        blob->mutable_cpu_data());
    CHECK_EQ(this->filler_param_.sparse(), -1)
         << "Sparsity not supported by this Filler.";
  }
};

由上面可以看出，caffe的Xavier實現有三種選擇

（1） 預設情況，方差只考慮輸入個數：

（2） FillerParameter_VarianceNorm_FAN_OUT，方差只考慮輸出個數：

（3） FillerParameter_VarianceNorm_AVERAGE，方差同時考慮輸入和輸出個數：

之所以預設只考慮輸入，我個人覺得是因為前向資訊的傳播更重要一些