問題描述

給定數字n，求出小於等於n的素數的個數，假設n<=1000000

思路

找出數字n之前的所有素數，用陣列isprime[i]表示i是否是素數；用num[i]表示小於等於數字i的素數有多少。
那麼最重要的就是解決判斷一個數是否是素數

方法1

最基礎的方法是對每個數從2開始遍歷到根號n，判斷有沒有n的因子，但是顯然效率非常低

方法2

埃式篩選法（ Eratosthenes篩選）預處理一下
原理：一個合數總是可以分解成若干質數的乘積
初始化isprime陣列為1，遍歷所有小於題目給定的1000000的數，從1開始判斷，如果改數不是素數，那麼就將其isprime改成0.
顯然1不是素數，num[1]=0；從2開始，如果一個數i是素數（比如2），那麼這個數的倍數都不是素數（也就是，4,6,8,10…）這些數至少有一個素數因子了，因此將i的所有倍數的isprime都設為0，而num[i]=num[i-1]+1;

如果一個數i不是素數，那麼不用處理，直接num[i]=num[i-1]

程式碼如下

const int cont = 1000002;
bool isprime[1000002];
int num[1000002];
int main()
{
    int n;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    memset(num,0,sizeof(num));
    isprime[1]=0;
    num[1]=0;
    for(int i = 2;i<cont;i++)
    {
        if(isprime[i])//是素數
        {
            num[i]=num[i-1
 
]+1;
            for(int j = 2*i;j<cont;j+=i)//去掉所有倍數
                isprime[j]=0;
        }
        else
            num[i]=num[i-1];
    }
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",num[n]);
    }
}

分析：
時間複雜度是O(nloglogn)
效率已經比較高，但是做了一些無用功，一個數會被重複篩選很多遍，
比如2和3的倍數中都有6

方法2

尤拉篩選

const int cont = 1000002;;  
int Prime[cont];  
bool vis[cont];  
void prepare()  
{  
    int num = 0;  
    memset(vis,true,sizeof(vis));  
    for(int i = 2; i <= cont; ++i)  
    {  
        if(vis[i])  
            Prime[++num] = i;  
        for(int j = 1; j <= num; ++j)  
        {  
            if (i * Prime[j] > cont)  
                break;  
            vis[i * Prime[j]] = false;  
            if (i % Prime[j] == 0) //表明這個數已經被篩過了 
                break;  
        }  
    }  
}