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一.能量W，功率P的定義

　　對於任意的時間訊號 x(t) ，這個訊號可以是任意隨時間變化的物理量，在對訊號進行能量分析時，不加區分地將其視為施加在阻值是單位電阻，即 R = 1Ω 的電阻上的電流。基於此，這個單位電阻的能量屬性，就視為這個訊號的能量屬性。

　　所以，訊號的總能量 W 就是：

　　同時，能量也可以在頻域表示：

　　相應地，訊號的平均功率 P 就是：

　　 第一個極限存在，即稱為 能量訊號，若第二個極限存在，則稱為 功率訊號。

        但是，一個訊號可以既不是能量訊號，也不是功率訊號，但不可能既是能量訊號，又是功率訊號。

在頻譜分析中幅度和功率是由緊密聯絡的兩個不同的物理量：    能量      ：能表述為幅值的平方和，也能表述為功率在時間上的積分；功率譜密度：是對隨機變數均方值的量度，是單位頻率的平均功率量綱；也就是說，對功率譜在頻域上積分就可以得到訊號的平均功率，而不是能量。能量譜密度：是單位頻率的幅值平方和量綱，能量譜密度曲線下面的面積才是這個訊號的總能量。於是，功率譜、能量譜、幅值譜之間的緊密關係主要表述為：
能量譜是功率譜密度函式在相位上的卷積，也是幅值譜密度函式的平方在頻率上的積分；
功率譜是訊號自相關函式的傅立葉變換，能量譜是訊號本身傅立葉變換幅度的平方一般地，若訊號的總能量是有限的，用能量譜密度函式考察；若訊號的總能量是無限的，但單位時間內的能量是有限的：比如週期訊號，用功率譜密度函式考察

二、能量訊號-能量譜

　　如果訊號是 能量訊號，通過傅立葉變換，就很容易分離不同頻域分量所對應的能量，頻率 ω 對應的能量為: dW = |X(ω)|²d(ω/2π)，對 ω 積分就能得到訊號的總能量，由此， |X(ω)|² 就定義為 能量譜密度，也常簡稱為 能量譜，意為能量在某一頻率上的分佈集度或，量綱是 [U]²·sec/Hz 或 [U]²·sec/(rad/sec)，[U] 是 x(t) 的量綱。

三、週期功率訊號-功率譜密度G(ω) 

　　這個是十分容易的，一個有限長時間的訊號進行週期延拓得到。

　　週期訊號在時間上無始無終，能量必然是無限的，但功率可能是有限的。對訊號進行傅立葉展開，可以寫成：

　　或表示為復指數形式，頻譜函式Cn是離散的

　　週期訊號的平均功率只需要取一個週期進行能量平均即可得到，也即：

　　或：

　　利用二項式展開以及三角函式系的正交性，不難化簡上式：

　　或

An 是週期訊號中頻率為 nΩ₀ 的諧波分量的幅值，Pn = An²/2 是頻率為 nΩ₀ 的諧波分量的功率。

所以結論就是：週期訊號的平均功率等於各諧波分量幅值的平方和。

容易理解，週期訊號的功率是離散地分佈在頻率為基頻 Ω₀ 整數倍的諧波分量上的。

　　如果以頻率為橫座標，功率 Pn 為縱座標，就可以得到功率隨頻率的分佈。容易觀察到，週期訊號的功率譜頻率分佈是離散的，等間隔的，間隔長度就是基頻 Ω₀ = 2π/T₀ ，如果將 Pn 在區間 [nΩ₀, (n+1)Ω₀] 平均化為 Pn/Ω₀ ，就可以得到一條頻率連續的分佈曲線 G(ω) ，其意義就是頻率 ω 上的功率密度，也就是所謂的 功率譜密度，量綱是 [U]²/Hz。

功率譜密度曲線的對頻率積分就等於平均功率 P，即：

　　實際上，如果引入衝擊函式 δ(·)，功率對頻率微分也可得到週期訊號的功率譜密度，功率譜密度在基頻整數倍為脈衝形式，即 G(ω) = ΣPnδ(ω-nΩ₀)，同樣滿足功率譜密度的積分就等於平均功率 P。

　　以三角函式對功率展開, 幅值 An 為實數，n 僅取正值，功率譜密度 G(ω) 為單邊功率譜，如果以復指函式形式對功率展開，係數 Cn 為複數，而 n 取全體整數，功率譜密度 S(ω) 為雙邊功率譜，二者關係為：An = 2|Cn| = 2|C₋n|，G(ω) = 2S(ω)。

四、非週期功率訊號

        如平穩隨機過程。非週期訊號可以用週期訊號的思路來推廣，相當於週期訊號中的週期 T₀ → ∞ 。

　　週期趨近於無窮意味著基頻（離散諧波的頻率分佈間隔） Ω₀ → 0 ，離散的諧波功率譜線趨於連續。同時，傅立葉係數 An 也趨於 0，也就是說，在諧波功率譜線的圖形中，所有頻率的譜值 Pn 都是無窮小，注意到，功率譜的頻率密度 G(ω) = Pn/Ω₀ 卻為有限值，可以用於描述功率的頻率分佈。

　　通過對訊號的截斷也容易理解非週期訊號的功率譜密度。功率訊號 x(t) 無法直接進行傅立葉變換，但通過對訊號截斷，則截斷後的 [-T, T] 上有限時長的訊號 x₀(t)則為能量訊號，可進行傅立葉變換，得到截斷訊號 x₀(t) 能量的頻率表示 |X₀(ω)|²。隨著截斷時間 2T 趨於無窮，截斷訊號 x₀(t) 逼近功率訊號 x(t)，能量譜密度 |X₀(ω)|² 趨於無窮，而其時間平均則為有限值，也即功率譜密度 G(ω) = lim(1/2T)|X₀(ω)|² 。