什麼是紅-黑二叉樹？

  紅-黑二叉樹首先是一顆二叉樹，它具有二叉樹的所有性質，是一種平衡二叉樹。普通二叉樹在生成過程中，容易出現不平衡的現象，即使是使用隨機演算法生成二叉樹，也是有一定概率生成不平衡的二叉樹. 如下圖所示 ：

為了解決二叉樹的不平衡問題，“大牛”們終於研究出了 紅-黑二叉樹(red-black binary tree)，它總是生成像左圖那樣的平衡二叉樹。

   紅-黑二叉樹的資料結構

  1)葉子節點(leaf child)，和 內部節點(internal node)

     紅黑二叉樹的每個節點都增加了2個指標，叫做 leaf child，它永遠存在，而且永遠都是 child，原二叉樹節點，叫做 internal node。

  2) 左旋，右旋， 重新著色(recolor)

       左旋，右旋， 重新著色(recolor) 是紅-黑二叉樹的三個基本操作。

   3) 規則

      3.1) 根節點和 葉子節點(leaf child) 節點必須是黑節點， 內部節點(internal node)非黑即紅。

      3.2) 從根節點開始到每條子路徑的葉子節點(leaf child)，所有的黑節點數目相同。

      3.3)  紅節點的父親節點必須是黑節點。

      tree 1是一個標準的紅-黑樹，每條的路徑的黑節點數量都是 3。 tree 2和 tree 4是 tree 3 分別左旋，右旋後的結果。

       recolor 操作，設想一下樹 tree 1，可以把B節點 改變成紅色，D和E改變成黑色，這顆紅-黑樹同樣成立，這個操作就是 recolor。

   紅-黑二叉樹的設計思想

    如果不瞭解紅-黑樹的設計思想，死套相應的操作規則，是件很頭疼的事情，知其然而不知其所以然，也是工程師的大忌。可惜，在網上找了不少資料，都介紹紅-黑樹的工作流程。在這裡，我大膽地猜想一下紅黑樹的設計思想。

    紅-黑樹的設計思想應該是，利用 紅-黑這兩種節點顏色來追蹤二叉樹的平衡狀況， 重新著色(recolor)這個操作就是動態重新整理各節點顏色，如果發現樹開始出現不平衡狀況，就使用 左旋(left rotate)或者右旋(right rotate)來改變樹的結構。 把圖(tree 2) 和(tree 3) 反過來看，它們都是不平衡樹，對 (tree 2)進行右旋，或對(tree 4)進行左旋都能得到(tree 3)這樣的平衡樹。 左旋的實質是增加左樹的高度而減少右樹的高度，右旋反之。 這樣交替運用這三個操作，我們就可以構建一顆平衡的二叉樹。

   插入

    通過上面對設計思想的分析，插入的工作流程就非常簡單了。

    首先分析 父親節點 和 叔叔節點的顏色，判斷“父親”和“叔叔”的勢力是否平衡。如果平衡，則直接插入，然後進行recolor 操作，繼續最蹤插入後的情況。否則把"爺爺這顆子樹"(父親節點，爺爺節點 和 叔叔節點）左(右)旋以後再插入。

          如何判斷"爺爺"這顆子樹是否平衡呢？

          這就是紅-黑樹的核心了，通過 "父親"與"叔叔"的顏色來判斷。如果他們同時為紅色或者黑色，那麼"爺爺"這顆子樹是平衡的。否則，就不平衡。需要進行旋轉操作來平衡

這兩者的勢力。

   按照 紅-黑樹的規則，根節點 30 必須是黑色，然後，我們插入 20，為了不違反各分支，黑節點數相等的原則，20必須是紅色，接著再插入 紅色節點40，so good, so far. 現在 插入 節點11。現在問題出來了，按照紅節點必要有黑父親的規則， 11 和 20 出現了衝突， 這種情況下，需要進行 recolor 操作： 20 和 40 調整為黑色，同時把 11 的爺爺 30 調整為紅色，這樣可以保證 30 這顆子樹的黑節點數目不變。 如果 30 的父親節點恰好也是紅色，需要執行 插入紅色節點 30，如果 30的父親是黑節點，調整結束，如果 30是根節點根據規則，把它改成 黑節點，此時，各分支節黑點數 +1變成了2，數目仍然相等。如果插入的資料是平衡的，我們只需要重複執行，上述操作，插入紅節點，recolor。

   繼續插入 71， 發現 71的父親 62 這個節點沒有兄弟節點，很明顯以71的爺爺40作為根節點子樹，已經不平衡了，因為，平衡的情況應該是，62 有一個 紅色的兄弟節點——這樣的話，我們只需要遞迴執行 recolor 即可。 可惜，62沒有兄弟，於是，左旋一下 (40-62-71) 這顆樹，左旋以後， 黑色根節點40變成了孩子節點，需要把的黑色上提，同新的根節點62交換顏色，以保證 黑色節點數目不變。 就這樣交替執行下去，我們就會得到一顆平衡的二叉樹。

  繼續 插入 65，recolor 40, 71, 62這三個節點。 OK，我們繼續插入 78，64， 當插入64需要 recolor 65, 78 71 三個節點。 recolor 以後， 71 與 62同為紅色節點，違反了規則，此時，執行一個遞迴演算法，把71當成一個新接點插入。 現在讓我們來插入新節點 71，由於 62 與 20顏色不相同， 30為根節點的這顆樹不平衡，需要左一個 左旋的操作。

同時 62 與30 互換顏色。 現在，71的父親為根節點，遞迴結束，71 插入成功。

   上面的演示，包含了所有的插入的基本情況。 總結一下：

   1）插入的新節點，總是紅節點。

   2)  如果 插入出現紅節點衝突:

         1)父親，叔叔都是紅節點，表明樹處於平衡狀態，執行重新著色(recolor)操作，否則進行旋轉操作。

         2) 把新的爺爺節點(子樹根節點)當成一個新的節點， 插入該樹。 重新執行，插入新節點的操作。

   具體的 虛擬碼，很多地方都右介紹，我就不多說了。 虛擬碼裡面，把插入的各種狀況分得很細——一些變化的中間狀態，也當成了一個插入狀態，只是程式設計的需要，理論上，

從我們的剛才的分析中可以得出，實際的插入就2個狀態，平衡 or 不平衡——通過父親與叔叔的顏色來判斷。 平衡就recolor，不平橫就 rotate. 千萬不要被程式碼的分析給迷惑住了。

     刪除

      首先執行的是二叉樹的通用刪除方法， 找被刪節點M的子節點C來替換它，而不是直接刪除M，M被C替換後，刪除C即可！這樣就把一個刪除 父親節點的問題，轉變成了刪除子節點的問題。 子節點C的選擇原則是， 取右分支最左邊，或者 左分支最右邊的。 這樣，我們只需要研究 子節點C的刪除情況，子節點C 最多有一個孩子節點（C 是最左邊或者最右邊）。

     如下圖 d-1所示，要刪除M節點，可以先用 C或者D替換M，然後，在刪除C或者D。

     紅-黑二叉樹刪除節點，最大的麻煩是要保持 各分支黑色節點數目相等。 因為是刪除，所以不用擔心存在顏色衝突問題——插入才會引起顏色衝突。

     1) 直接刪除。

       1.1） M節點是紅節點，直接刪除。圖 d-2. M不可能帶有其它子節點——如子節點為黑，則違反黑節點數原則，為紅，則違反“顏色”原則。                

       1.2） M節點是黑節點帶有紅色子節點直接用子節點，則recolr 子節點為黑，替換M。

    2)  M節點無子節點，且與  P 節點同為黑色。

         如果刪除M則分支 P的黑節點數肯定 少一個，如果M有子節點，就直接用子節點頂上來（情況1）。現在只右考察一下M的兄弟N，如果它是紅色節點，那就好辦了，

利用 插入時 reclor逆操作，把紅節點變成黑節點，保持黑節點數目不變。

       先是進行一個左旋， 把紅節點當作新的根節點，然後，recolor，此時，P為紅，M和N1則為黑， 最後，再此 recolor, 把 M和N1變紅，P 變黑，現在可以直接刪除M了。

其實，仔細觀察一下，會發現它是 插入 recolor的逆過程。

       OK，現在我們利用 紅節點變黑， 刪除了一個黑節點。保持了黑節點數目不變的原則。

       如果 M 節點的兄弟節點是也是黑節點怎麼辦呢？

       這種情況，把M的兄弟S recolor 為紅，P節點分支減少一個 黑節點數， 然後，再把 P節點當作當前節點，遞迴"刪除"，直到其它分支，也都recolor一個黑節點為紅節點，使黑節點數保持相同。

     ：“刪除”加了引號，這個刪除不是指從樹中移除——這個過程是在最開始通過子節點替換完成的——而是指遞迴 recolor 一個黑節點。

        先recolor M的兄弟N，然後，“刪除” 當前節點P,  recolor p的兄弟 A3, 再"刪除"  A1，recolor A2，依次遞歸向上，每個分支減少一個 黑節點。

        這裡的 遞迴刪除 根節點 P，並不是真正意義上面的刪除，不同於刪除節點M，只是為了重用程式碼的結構而已。

       一些文章的虛擬碼裡面，把刪除也分成了好多種情況，其實 理論上就三種。 1） 直接刪除。 2） 旋轉，recolor 紅節點成黑節點。 3） 遞迴，recolor 黑節點為紅節點。

      後記

       這兩天研究 紅-黑樹，到網上查了好多資料，都是講述的操作流程，沒有文章講一下演算法的思想。看得人一頭霧水。我花了些時間，仔細研究了一下，感覺還是蠻簡單的。

真的很佩服演算法的設計者。寫出來供大家研究一下。

      參考資料

    1)   http://en.wikipedia.org/wiki/Red%E2%80%93black_tree

     2)   演算法導論。

     3)  google 了一些文章。