在前兩集漫畫中，我們通過一個演算法問題的完整解題過程，講述了動態規劃的基本概念和思想。沒看過前兩集的朋友可以點選下面的連結：

在第二集的末尾，給出了一道動態規劃的進階題目——國王和金礦。讓我們先來回顧一下問題：

有一個國家發現了5座金礦，每座金礦的黃金儲量不同，需要參與挖掘的工人數也不同。參與挖礦工人的總數是10人（第二集說的是1000人，這裡改動一下）。每座金礦要麼全挖，要麼不挖，不能派出一半人挖取一半金礦。要求用程式求解出，要想得到儘可能多的黃金，應該選擇挖取哪幾座金礦？

下面，繼續我們的故事。

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方法一：排列組合

每一座金礦都有挖與不挖兩種選擇，如果有N座金礦，排列組合起來就有2^N種選擇。對所有可能性做遍歷，排除那些使用工人數超過10的選擇，在剩下的選擇裡找出獲得金幣數最多的選擇。

程式碼比較簡單就不展示了，時間複雜度也很明顯，就是O(2^N)。

F(n,w) = 0    (n<=1, w<p[0]);

F(n,w) = g[0]     (n==1, w>=p[0]);

F(n,w) = F(n-1,w)    (n>1, w<p[n-1])  

F(n,w) = max(F(n-1,w),  F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1])    (n>1, w>=p[n-1])

其中第三條是補充上去的，原因不難理解。

方法二：簡單遞迴

把狀態轉移方程式翻譯成遞迴程式，遞迴的結束的條件就是方程式當中的邊界。因為每個狀態有兩個最優子結構，所以遞迴的執行流程類似於一顆高度為N的二叉樹。

方法的時間複雜度是O(2^N)。

方法三：備忘錄演算法

在簡單遞迴的基礎上增加一個HashMap備忘錄，用來儲存中間結果。HashMap的Key是一個包含金礦數N和工人數W的物件，Value是最優選擇獲得的黃金數。

方法的時間複雜度和空間複雜度相同，都等同於備忘錄中不同Key的數量。

方法四：動態規劃

方法利用兩層迭代，來逐步推匯出最終結果。在外層的每一次迭代，也就是對錶格每一行的迭代過程中，都會保留上一行的結果陣列 preResults，並迴圈計算當前行的結果陣列results。

方法的時間複雜度是 O(n * w)，空間複雜度是(w)。需要注意的是，當金礦只有5座的時候，動態規劃的效能優勢還沒有體現出來。當金礦有10座，甚至更多的時候，動態規劃就明顯具備了優勢。