這個題目最早在13年阿里筆試出現，直到前兩天面試另一家電商又出現，哎，欠的都是要還的。

這個問題的思路如下：一維陣列的下標連續的元素構成連續子陣列，求所有連續子陣列中和最大的那個子陣列。

解析：2018-11-08

1 首先這個問題要轉化為Q(n)的問題，對於Q(n)的問題要轉化成Q(n) = Q(n-1) + An的問題。

2 只要能意識到這一點，其實就可以有希望在O(n)的時間內解決，不然，那就複雜的無法解決（因為你無法通過普通的迴圈遍歷來做到，就算做到了，那複雜性也是難以承受的）。

3 上面的思想本質上還是一維動態規劃演算法。按照地歸解分類討論一下即可。

思路一旦確定，解的時候只需要更新各個臨時變數和下標即可

解釋(如上圖所示)：

1 Q(n)表示元素為n的陣列其最優解（其下標範圍為[i, j)）

2 元素n+1為陣列的第n+1個元素（其下標範圍為n1）

3 A2為Q(n)產生時的一個子序列，這個序列的是Q(n)右側和n+1之間的所有元素構成的集合，該序列的和一定是負值（下標範圍為[j, n1)）

4 A1為Q(n)產生時的Q(n)左側的序列，該序列的和一定是負值

5 A1無需考慮，我們主要考慮加入第n+1元素時，新的Q(n+1)可能是那種情況即可。這裡可能情況有四種。屬於列舉法解決問題。

6 首先考慮新的序列Q(n+1)會不會變的更長，也就是A2+（n+1）會不會也加入進來，這個是我們的直覺。這個時候會不會加進來主要看這個序列的和是不是大於零。也就是A2 + （n+1） > 0 ?  大於零也不是就一定要加上Q(n)。因為Q(n)可能是個負數，加了只會更小，這時候就不能加入，而A2又是和為負數，所以新的Q(n+1)只能是第n+1這個元素自己。這裡的討論只是以其中的一種情況為例討論的。其餘三種情況類似，參考上圖即可。

7 本題的難點就在於列舉出各種情況，很容易考慮不周，我就見過有人寫的程式碼過於簡單，考慮不周的。而且也寫出來，這個是誤人子弟（當然讀者自己要去驗證和辨別）

8 本題的第二個難點在於標記變數的設定和在各種情況下的更新。如果你把上圖先畫出來，對著圖寫程式，還是很簡單的（即便這樣，我的A2更新還是出過問題，改了兩次才改好）。一定要嚴格定義上圖中各個集合的範圍，這時候他們在各種情況下的更新時機才會比較清晰，程式碼才不會寫BUG。

程式碼：

#include <cassert>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int MaxSumOfContinuousSubSequence(const vector<int>& a, int& i, int& j)
{
	if (a.size() == 0)
	{
		throw "sequence must has one element at least!";
	}

	if (a.size() == 1)
	{
		return a[0];
	}
	//各個集合及其下標範圍
	//Q(n)[i,j) 上一次的最優解與下標範圍
	//A2[j,n1)  上一次的最優解與當前第n+1個元素之間的序列（A2各元素和總是負值）
	//n1[n+1,n+2)  當前Q(n+1)比Q(n)多出來的那個新元素
	i = 0;//Q(n)的起始下標
	j = 1;//A2的起始下標
	int n1 = 1;//n1的起始下標

	int currentMaxSum = a[0];
	int sumA2 = 0;

	for (n1 = 1; n1 < a.size(); ++n1)
	{
		if (sumA2 + a[n1] >= 0)
		{
			if (currentMaxSum > 0)
			{
				currentMaxSum = currentMaxSum + sumA2 + a[n1];
				sumA2 = 0;
				j = n1 + 1;
			}
			else
			{
				currentMaxSum = a[n1];
				sumA2 = 0;
				i = n1;
				j = n1 + 1;
			}
		} 
		else
		{
			if (currentMaxSum > a[n1])
			{
				currentMaxSum = currentMaxSum;
				sumA2 = sumA2 + a[n1];
			}
			else
			{
				currentMaxSum = a[n1];
				sumA2 = 0;
				i = n1;
				j = n1 + 1;
			}
		}
	}

	return currentMaxSum;
}

void test_max_sub_sum(const vector<int>& a)
{
	cout << "sequence ";
	for each (auto var in a)
	{
		cout << var << " ";
	}
	cout << endl;
	int begin, end;
	cout << "MaxSumOfContinuousSubSequence " << MaxSumOfContinuousSubSequence(a, begin, end) << endl;
	for (int i = begin; i < end; ++i)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}
	cout << endl<<endl;
}

int main()
{
	vector<int>  a1 = { -1, 100, -200, 13};
	test_max_sub_sum(a1);

	vector<int>  a2 = { -1, 100, -200, 201};
	test_max_sub_sum(a2);

	vector<int>  a3 = { -1, 100, -200, 201, -20, -20, -20, 61};
	test_max_sub_sum(a3);

	vector<int>  a4 = { -1, 100, -200, 201, -20, -20, -20, 61, -104, 103};
	test_max_sub_sum(a4);

	vector<int>  a5 = { -1, 100, -200, 201, -20, -20, -20, 61, -104, 103, 1};
	test_max_sub_sum(a5);

	return 0;
}
 

輸出：