Maximum Subarray連續子序列最大和 -- LeetCode（經典動態規劃）
阿新 • • 發佈：2019-01-26
原題連結: http://oj.leetcode.com/problems/maximum-subarray/
這是一道非常經典的動態規劃的題目，用到的思路我們在別的動態規劃題目中也很常用，以後我們稱為”區域性最優和全域性最優解法“。
基本思路是這樣的，在每一步，我們維護兩個變數，一個是全域性最優，就是到當前元素為止最優的解是，一個是區域性最優，就是必須包含當前元素的最優的解。接下來說說動態規劃的遞推式（這是動態規劃最重要的步驟，遞迴式出來了，基本上程式碼框架也就出來了）。假設我們已知第i步的global[i]（全域性最優）和local[i]（區域性最優），那麼第i+1步的表示式是：
local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i])，就是區域性最優是一定要包含當前元素，所以不然就是上一步的區域性最優local[i]+當前元素A[i]（因為local[i]一定包含第i個元素，所以不違反條件），但是如果local[i]是負的，那麼加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；
global[i+1]=Math(local[i+1],global[i])，有了當前一步的區域性最優，那麼全域性最優就是當前的區域性最優或者還是原來的全域性最優（所有情況都會被涵蓋進來，因為最優的解如果不包含當前元素，那麼前面會被維護在全域性最優裡面，如果包含當前元素，那麼就是這個區域性最優）。
接下來我們分析一下複雜度，時間上只需要掃描一次陣列，所以時間複雜度是O(n)。空間上我們可以看出表示式中只需要用到上一步local[i]和global[i]就可以得到下一步的結果，所以我們在實現中可以用一個變數來迭代這個結果，不需要是一個數組，也就是如程式中實現的那樣，所以空間複雜度是兩個變數（local和global），即O(2)=O(1)。
程式碼如下：
這是一道非常經典的動態規劃的題目，用到的思路我們在別的動態規劃題目中也很常用，以後我們稱為”區域性最優和全域性最優解法“。
基本思路是這樣的，在每一步，我們維護兩個變數，一個是全域性最優，就是到當前元素為止最優的解是，一個是區域性最優，就是必須包含當前元素的最優的解。接下來說說動態規劃的遞推式（這是動態規劃最重要的步驟，遞迴式出來了，基本上程式碼框架也就出來了）。假設我們已知第i步的global[i]（全域性最優）和local[i]（區域性最優），那麼第i+1步的表示式是：
local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i])，就是區域性最優是一定要包含當前元素，所以不然就是上一步的區域性最優local[i]+當前元素A[i]（因為local[i]一定包含第i個元素，所以不違反條件），但是如果local[i]是負的，那麼加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；
global[i+1]=Math(local[i+1],global[i])，有了當前一步的區域性最優，那麼全域性最優就是當前的區域性最優或者還是原來的全域性最優（所有情況都會被涵蓋進來，因為最優的解如果不包含當前元素，那麼前面會被維護在全域性最優裡面，如果包含當前元素，那麼就是這個區域性最優）。
接下來我們分析一下複雜度，時間上只需要掃描一次陣列，所以時間複雜度是O(n)。空間上我們可以看出表示式中只需要用到上一步local[i]和global[i]就可以得到下一步的結果，所以我們在實現中可以用一個變數來迭代這個結果，不需要是一個數組，也就是如程式中實現的那樣，所以空間複雜度是兩個變數（local和global），即O(2)=O(1)。
程式碼如下：
- publicint maxSubArray(int[] A) {
- if(A==null || A.length==0)
- return0;
- int global = A[0];
- int local = A[0];
- for(int i=1;i<A.length;i++)
- {
- local = Math.max(A[i],local+A[i]);
- global = Math.max(local,global);
- }
-
return global;
- }