1. 問題描述

輸入一個整形陣列，求陣列中連續的子陣列使其和最大。比如，陣列x

應該返回 x[2..6]的和187.

2. 問題解決

我們很自然地能想到窮舉的辦法，窮舉所有的子陣列的之和，找出最大值。

窮舉法

i, j的for迴圈表示x[i..j]，k的for迴圈用來計算x[i..j]之和。

maxsofar = 0
for i = [0, n)
    for j = [i, n)
        sum = 0
        for k = [i, j]
            sum += x[k]
        /* sum is sum of x[i..j] */
        maxsofar = max(maxsofar, sum)
 

有三層迴圈，窮舉法的時間複雜度為O(n3)O(n3)

對窮舉法的改進1

我們注意到x[i..j]之和 = x[i..j-1]之和 + x[j]，因此在j的for迴圈中，可直接求出sum。

maxsofar = 0
for i = [0, n)
    sum = 0
    for j = [i, n)
        sum += x[j]
        /* sum is sum of x[i..j] */
        maxsofar = max(maxsofar, sum)

顯然，改進之後的時間複雜度變為O(n2)O(n2)。

對窮舉法的改進2

在計算fibonacci數時，應該還有印象：用一個累加陣列（cumulative array）記錄前面n-1次之和，計算當前時只需加上n即可。同樣地，我們用累加陣列cumarr記錄：cumarr[i] = x[0] + . . . +x[i]

cumarr[-1] = 0
for i = [0, n)
    cumarr[i] = cumarr[i-1] + x[i]
    
maxsofar = 0
for i = [0, n)
    for j = [i, n)
        sum = cumarr[j] - cumarr[i-1]
        /* sum is sum of x[i..j] */
        maxsofar = max(maxsofar, sum)

時間複雜度依然為O(n2)O(n2)。

分治法

所謂分治法，是指將一個問題分解為兩個子問題，然後分而解決之。具體步驟如下：

• 先將陣列分為兩個等長的子陣列a, b；
  

• 分別求出兩個陣列a，b的連續子陣列之和；
  

• 還有一種情況比較容易忽略：有可能最大和的子陣列跨越兩個陣列；
  

• 最後比較mama, mbmb, mcmc，取最大即可。

在計算mcmc時，注意：mcmc必定包含總區間的中間元素，因此求mcmc等價於從中間元素開始往左累加的最大值 + 從中間元素開始往右累加的最大值。

float maxsum3(l, u)
    if (l > u) /* zero elements */
        return 0
        
    if (l == u) /* one element */
        return max(0, x[l])
    
    m = (l + u) / 2
    /* find max crossing to left */
    lmax = sum = 0
    for (i = m; i >= l; i--)
        sum += x[i]
        lmax = max(lmax, sum)
    
    /* find max crossing to right */
    rmax = sum = 0
    for i = (m, u]
        sum += x[i]
        rmax = max(rmax, sum)

    return max(lmax+rmax,
                maxsum3(l, m),
                maxsum3(m+1, u));

容易證明，時間複雜度為O(n∗logn)O(n∗log n)。

Kadane演算法

Kadane演算法又被稱為掃描法，該演算法用到了一個啟發式規則：如果前面一段連續子陣列的和小於0，那麼就丟棄它。其實也蠻好理解的，舉個簡單例子，比如：陣列-1, 2, 3，-1為負數，為了使得子陣列之和最大，顯然不應當把-1計入進內。

max_ending_here記錄前面一段連續子陣列之和。

Initialize:
    max_so_far = 0
    max_ending_here = 0

Loop for each element of the array
  (a) max_ending_here = max_ending_here + x[i]
  (b) if(max_ending_here < 0)
            max_ending_here = 0
  (c) if(max_so_far < max_ending_here)
            max_so_far = max_ending_here
return max_so_far

只遍歷了一遍陣列，因此時間複雜度為O(n)O(n)。

3. 參考資料

[1] Jon Bentley, Programming Pearls.
[2] GeeksforGeeks, Largest Sum Contiguous Subarray.