題目1

一維陣列的連續子陣列的最大和
輸入一個整型陣列，數組裡有正數也有負數。陣列中一個或連續的多個整陣列成一個子陣列。求所有子陣列的和的最大值。要求時間負責度為O(n)。

分析

假如輸入陣列為{1,-2,3,10,-4,7,2,-5}，我們嘗試從頭到尾累加其中的正數，初始化和為0，第一步加上1，此時和為1，第二步加上-2，此時和為-1，第三步加上3，此時我們發現-1+3=2，最大和2反而比3一個單獨的整數小，這是因為3加上了一個負數，發現這個規律以後我們就重新作出累加條件：如果當前和為負數，那麼就放棄前面的累加和，從陣列中的下一個數再開始計數。

實現

public class
 
 Num6 {

    /**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
        int[] a={1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
        maxSum(a);

    }

    public static void maxSum(int[] a){
        int maxSum=a[0];
        int sum=a[0];
        int start=0;
        int begin=0,end=0;
        for(int i=1
 
;i<a.length;i++){
            if(sum<0){
                sum=a[i];
                start=i;
            }else{
                sum+=a[i];
            }
            if(sum>maxSum){
                maxSum=sum;
                begin=start;
                end=i;
            }
        }
        System.out.println("maxSum="
 
+maxSum);
        for(int i=begin;i<=end;i++){
            System.out.print(a[i]+"  ");
        }
    }

}

題目2

二維陣列的連續子陣列的最大和。
二維陣列的連續子陣列即為一個矩陣；
如下圖所示

設矩陣的坐上頂點為A(i,j), 右下頂點為 B(endi, endj). 在圖中即為 A(1,1), B(3,3)。我們可以用Rect（A,B）即 (1,1,3,3,)來表示矩形區域。

方法1：直接計算

遍歷所有的矩形區域，找出其中的最大值，其中遍歷的話複雜度為O(M^2 * N^2)，假設二維陣列為M行N列。
其中怎麼計運算元矩陣的和呢？通過預處理，我們可以再O(1)的時間內算出。具體看下面的程式碼：
arrSum函式即做預處理，得到陣列p，p[i][j]表示已Rect(0, 0, i-1, j-1)矩形區域的總和。有了p陣列就可以直接計算出任意矩形的總和。

//計算2維陣列的最大和子矩陣
    //直接計算：p[i][j]表示{0,0，i,j}的子矩陣的和；利用p可以快速求出sum{starti,startj,endi,endj}
    public static void max2Sum_1(int[][] a,int m,int n){
        int[][] p=new int[m+1][n+1];
        //計算p矩陣
        p[0][0]=0;
        for(int i=1;i<m;i++){
            p[i][0]=0;
        }
        for(int j=1;j<n;j++){
            p[0][j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                p[i][j]=p[i-1][j]+p[i][j-1]+a[i-1][j-1]-p[i-1][j-1];
            }
        }

        for(int i=0;i<m+1;i++){
            for(int j=0;j<n+1;j++){
                System.out.print(p[i][j]+"\t");
            }
            System.out.println();
        }

        int si=0,sj=0,ei=0,ej=0;

        //遍歷所有子矩陣
        int ans=Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=1;i<=m;i++){  //行  從0到m
            for(int j=1;j<=n;j++){    //列開始 從0到n
                for(int endi=i;endi<=m;endi++){    //行結束  從i到m
                    for(int endj=j;endj<=n;endj++){
                        int sum=p[endi][endj]-p[i-1][endj]-p[endi][j-1]+p[i-1][j-1];      //子矩陣：從i，j開始到endi,endj
                        if(sum>ans){
                            ans=sum;
                            si=i;
                            sj=j;
                            ei=endi;
                            ej=endj;
                            System.out.println(ans+"  "+si+" "+sj+" "+ei+" "+ej);
                        }
                    }
                }
            }
        }

        System.out.println(ans);
        System.out.println(si+" "+sj+" "+ei+" "+ej);

    }

方法2： 轉化為一維陣列計算

將每列中的各行相加，得到一個一維陣列，轉化求一維陣列的最大子陣列；
對矩陣，壓縮行，將每個子矩陣轉換化為一維陣列，進行求解；
子矩陣的高度：從1行到m行==所以需要遍歷所有的行；為減少遍歷的行數；==當m>n時，進行矩陣逆，

實現

    public static void max2Sum_2(int[][] a,int m,int n){
        if(m>n){
            a=reverse(a);
            int tmp=m;
            n=m;
            m=tmp;
        }

        //求出每一列中從第一行到第i行的和
        int[][] p=new int[m+1][n+1];
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                p[i][j]=p[i-1][j]+a[i-1][j-1];
            }
        }

        //求每個子陣列的和
        int maxSum=Integer.MIN_VALUE;
        int sum=0;
        int si=0,sj=0,ei=0,ej=0;

        for(int h=1;h<=m;h++){     //子矩陣的高度
            for(int i=1;i+h-1<=m;i++){//子矩陣從i行開始，到endLine結束
                int endLine=i+h-1;
                sum=maxSum_2(p,i,endLine,n);
                if(sum>maxSum){
                    maxSum=sum;                 
                }
            }
        }

        System.out.println(maxSum);
    }

    //求一維陣列的最大子陣列
    private static int maxSum_2(int[][] p, int startLine, int endLine,int n) {
        int maxSum=p[endLine][1]-p[startLine-1][1];//初始化最大子陣列和為第一列的和；

        int sum=maxSum;

        for(int i=2;i<=n;i++){
            int num=p[endLine][i]-p[startLine][i];
            if(sum<0){
                sum=num;
            }else{
                sum+=num;
            }
            if(sum>maxSum){
                maxSum=sum;
            }
        }
        return maxSum;
    }

    private static int[][] reverse(int[][] a) {
        int m=a.length;
        int n=a[0].length;
        int[][] newArr=new int[n][m];
        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                newArr[j][i]=a[i][j];
            }
        }
        return newArr;
    }