最小生成樹計數模板及原理
*演算法引入：
*給定一個含有N個結點M條邊的無向圖,求它最小生成樹的個數t(G);
*
*演算法思想：
*拋開“最小”的限制不看,如果只要求求出所有生成樹的個數,是可以利用Matrix-Tree定理解決的;
*Matrix-Tree定理此定理利用圖的Kirchhoff矩陣,可以在O(N3)時間內求出生成樹的個數;
*
*kruskal演算法：
*將圖G={V,E}中的所有邊按照長度由小到大進行排序,等長的邊可以按照任意順序;
*初始化圖G’為{V,Ø},從前向後掃描排序後的邊,如果掃描到的邊e在G’中連線了兩個相異的連通塊,則將它插入G’中;
*最後得到的圖G’就是圖G的最小生成樹;
*
*由於kruskal按照任意順序對等長的邊進行排序,則應該將所有長度為L0的邊的處理當作一個階段來整體看待;
*令kruskal處理完這一個階段後得到的圖為G0,如果按照不同的順序對等長的邊進行排序,得到的G0也是不同;
*雖然G0可以隨排序方式的不同而不同,但它們的連通性都是一樣的,都和F0的連通性相同(F0表示插入所有長度為L0的邊後形成的圖);
*
*在kruskal演算法中的任意時刻,並不需要關注G’的具體形態,而只要關注各個點的連通性如何(一般是用並查集表示);
*所以只要在掃描進行完第一階段後點的連通性和F0相同,且是通過最小代價到達這一狀態的,接下去都能找到最小生成樹;
*
*經過上面的分析,可以看出第一個階段和後面的工作是完全獨立的;
*第一階段需要完成的任務是使G0的連通性和F0一樣,且只能使用最小的代價;
*計算出這一階段的方案數,再乘上完成後續事情的方案數,就是最終答案;
*
*由於在第一個階段中,選出的邊數是一定的,所有邊的長又都為L0;
*所以無論第一個階段如何進行代價都是一樣的,那麼只需要計算方案數就行了;
*此時Matrix-Tree定理就可以派上用場了,只需對F0中的每一個連通塊求生成樹個數再相乘即可;
*
*Matrix-Tree定理:
*G的所有不同的生成樹的個數等於其Kirchhoff矩陣C[G]任何一個n-1階主子式的行列式的絕對值；
*n-1階主子式就是對於r(1≤r≤n),將C[G]的第r行,第r列同時去掉後得到的新矩陣,用Cr[G]表示;
*
*演算法舉例：
*HDU4408(Minimum Spanning Tree)
*
*題目地址：
*http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4408
*
*題目大意：
*給定一個含有N個結點M條邊的無向圖,求它最小生成樹的個數,所得結果對p取模;
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=111;
const int M=1111;
typedef __int64 LL;
struct Edges
{
int a,b,c;
bool operator<(const Edges & x)const
{
return c<x.c;
}
} edge[M];
int n,m;
int mod;
LL f[N],U[N],vist[N];//f,U都是並查集，U是每組邊臨時使用
LL G[N][N],C[N][N];//G頂點之間的關係，C為生成樹計數用的Kirchhoff矩陣
vector<int>V[N];//記錄每個連通分量
int Find(int x,LL f[])
{
if(x==f[x])
return x;
else
return Find(f[x],f);
}
LL det(LL a[][N],int n)//生成樹計數:Matrix-Tree定理
{
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
a[i][j]%=mod;
int ret=1;
for(int i=1; i<n; i++)
{
for(int j=i+1; j<n; j++)
while(a[j][i])
{
int t=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i; k<n; k++)
a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*t)%mod;
for(int k=i; k<n; k++)
swap(a[i][k],a[j][k]);
ret=-ret;
}
if(a[i][i]==0)
return 0;
ret=ret*a[i][i]%mod;
}
return (ret+mod)%mod;
}
void Solve()
{
sort(edge,edge+m);//按權值排序
for(int i=1; i<=n; i++)//初始化並查集
{
f[i]=i;
vist[i]=0;
}
LL Edge=-1;//記錄相同的權值的邊
LL ans=1;
for(int k=0; k<=m; k++)
{
if(edge[k].c!=Edge||k==m)//一組相等的邊,即權值都為Edge的邊加完
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(vist[i])
{
LL u=Find(i,U);
V[u].push_back(i);
vist[i]=0;
}
}
for(int i=1; i<=n; i++) //列舉每個連通分量
{
if(V[i].size()>1)
{
for(int a=1; a<=n; a++)
for(int b=1; b<=n; b++)
C[a][b]=0;
int len=V[i].size();
for(int a=0; a<len; a++) //構建Kirchhoff矩陣C
for(int b=a+1; b<len; b++)
{
int a1=V[i][a];
int b1=V[i][b];
C[a][b]=(C[b][a]-=G[a1][b1]);
C[a][a]+=G[a1][b1];//連通分量的度
C[b][b]+=G[a1][b1];
}
LL ret=(LL)det(C,len);
ans=(ans*ret)%mod;//對V中的每一個連通塊求生成樹個數再相乘
for(int a=0; a<len; a++)
f[V[i][a]]=i;
}
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
U[i]=f[i]=Find(i,f);
V[i].clear();
}
if(k==m)
break;
Edge=edge[k].c;
}
int a=edge[k].a;
int b=edge[k].b;
int a1=Find(a,f);
int b1=Find(b,f);
if(a1==b1)
continue;
vist[a1]=vist[b1]=1;
U[Find(a1,U)]=Find(b1,U);//並查集操作
G[a1][b1]++;
G[b1][a1]++;
}
int flag=0;
for(int i=2; i<=n&&!flag; i++)
if(U[i]!=U[i-1])
flag=1;
if(m==0)
flag=1;
printf("%I64d\n",flag?0:ans%mod);
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod),n+m+mod)
{
memset(G,0,sizeof(G));
for(int i=1; i<=n; i++)
V[i].clear();
for(int i=0; i<m; i++)
scanf("%d%d%d",&edge[i].a,&edge[i].b,&edge[i].c);
Solve();
}
return 0;
}