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一、實驗目的和要求

（1）進一步掌握遞迴演算法的設計思想以及遞迴程式的除錯技術；

（2）理解這樣一個觀點：分治與遞迴經常同時應用在演算法設計之中。

（3）分別用蠻力法和分治法求解最近對問題；

（4）分析演算法的時間效能，設計實驗程式驗證分析結論。

二、實驗內容

設p1=(x1, y1), p2=(x2, y2), …, pn=(xn, yn)是平面上n個點構成的集合S，設計演算法找出集合S中距離最近的點對。

三、實驗環境

MyEclipse 5.5.1 GA

java

四、實驗原理

1、蠻力法（適用於點的數目比較小的情況下）

1）演算法描述：已知集合S中有n個點，一共可以組成n(n-1)/2對點對，蠻力法就是對這n(n-1)/2對點對逐對進行距離計算，通過迴圈求得點集中的最近點對
     2）演算法時間複雜度：演算法一共要執行 n(n-1)/2次迴圈，因此演算法複雜度為O(n²)

   2、分治法

    1）演算法描述：已知集合S中有n個點，分治法的思想就是將S進行拆分，分為2部分求最近點對。演算法每次選擇一條垂線L，將S拆分左右兩部分為S_L和S_R，L一般取點集S中所有點的中間點的x座標來劃分，這樣可以保證S_L

依次找出這兩部分中的最小點對距離：δ_L和δ_R，記S_L和S_R中最小點對距離δ = min（δ_L，δ_R），如圖1：

                                                           圖1 

以L為中心，δ為半徑劃分一個長帶，最小點對還有可能存在於S_L和S_R的交界處，如下圖2左圖中的虛線帶，p點和q點分別位於S_L和S_R的虛線範圍內，在這個範圍內，p點和q點之間的距離才會小於δ，最小點對計算才有意義。

                                                              圖2

對於S_L虛框範圍內的p點，在S_R虛框中與p點距離小於δ的頂多只有六個點，就是圖二右圖中的2個正方形的6的頂點。這個可以反推證明，如果右邊這2個正方形內有7個點與p點距離小於δ，例如q點，則q點與下面正方形的四個頂點距離小於δ，則和δ為S_L和S_R中的最小點對距離相矛盾。因此對於S_L虛框中的p點，不需求出p點和右邊虛線框內所有點距離，只需計算S_R中與p點y座標距離最近的6個點，就可以求出最近點對，節省了比較次數。否則的話，最壞情形下，在S_R虛框中有可能會有n/2個點，對於S_L虛框中的p點，每次要比較n/2次，浪費了演算法的效率

2）演算法時間複雜度：

首先對點集S的點x座標和y座標進行升序排序，需要迴圈2nlogn次，複雜度為O(2nlogn)

接下來在分治過程中，對於每個S'_yL中的點，都需要與S'_yR中的6個點進行比較

      O(n)= 2O(n/2) + (n/2)*6  （一個點集劃分為左右兩個點集，時間複雜度為左右兩個點集加上中間區域運算之和）

     其解為O(n)< O(3nlogn)

因此總的時間複雜度為O(3nlogn)，比蠻力法的O(n²)要高效。

五、實驗資料

                                                                圖3  兩種演算法的時間複雜度對比

六、實驗結果

1)輸入點

2) 蠻力法

3)分治法

七、實驗總結

通過這次實驗，我深刻了解到分治法的實用性，有效性。當遇到規模較大的問題，用我們以前學過的方法就太不明智了。將原問題劃分成若干個較小規模的子問題，再繼續求解，劃分，能夠簡化問題。遞迴法，是一個很重要的方法，具有結構自相似的特性，剛開始學習編寫的時候遇到了很多問題，不知道要找邊界，不知道如何劃分問題。

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