Bellman-Ford 演算法及其優化以及SPFA
Bellman-Ford演算法與另一個非常著名的Dijkstra演算法一樣，用於求解單源點最短路徑問題。Bellman-ford演算法除了可求解邊權均非負的問題外，還可以解決存在負權邊的問題（意義是什麼，好好思考），而Dijkstra演算法只能處理邊權非負的問題，因此 Bellman-Ford演算法的適用面要廣泛一些。但是，原始的Bellman-Ford演算法時間複雜度為 O（VE）,比Dijkstra演算法的時間複雜度高，所以常常被眾多的大學演算法教科書所忽略，就連經典的《演算法導論》也只介紹了基本的Bellman-Ford演算法，在國內常見的基本資訊學奧賽教材中也均未提及，因此該演算法的知名度與被掌握度都不如Dijkstra
Bellman-Ford演算法思想
Bellman-Ford演算法能在更普遍的情況下（存在負權邊）解決單源點最短路徑問題。對於給定的帶權（有向或無向）圖 G=（V,E），其源點為s，加權函式 w是邊集 E 的對映。對圖G執行Bellman-Ford演算法的結果是一個布林值，表明圖中是否存在著一個從源點s可達的負權迴路。若不存在這樣的迴路，演算法將給出從源點s到圖G的任意頂點v的最短路徑d[v]。
Bellman-Ford演算法流程分為三個階段：
（1） 初始化：將除源點外的所有頂點的最短距離估計值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
（2） 迭代求解：反覆對邊集E中的每條邊進行鬆弛操作，使得頂點集V中的每個頂點v的最短距離估計值逐步逼近其最短距離；（執行|v|-1次）
（3） 檢驗負權迴路：判斷邊集E中的每一條邊的兩個端點是否收斂。如果存在未收斂的頂點，則演算法返回false，表明問題無解；否則演算法返回true，並且從源點可達的頂點v的最短距離儲存在 d[v]中。
演算法描述如下：
Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean //圖G ，邊集函式 w ，s為源點
1 for each vertex v ∈ V（G） do //初始化 1階段
2 d[v] ←+∞
3 d[s] ←0; //1階段結束
4 for i=1 to |v|-1 do //2階段開始，雙重迴圈。
5 for each edge（u,v） ∈E(G) do //邊集陣列要用到，窮舉每條邊。
6 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then //鬆弛判斷
7 d[v]=d[u]+w(u,v) //鬆弛操作 2階段結束
8 for each edge（u,v） ∈E(G) do
9 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
10 Exit false
11 Exit true
下面給出描述性證明：
首先指出，圖的任意一條最短路徑既不能包含負權迴路，也不會包含正權迴路，因此它最多包含|v|-1條邊。
其次，從源點s可達的所有頂點如果存在最短路徑，則這些最短路徑構成一個以s為根的最短路徑樹。Bellman-Ford演算法的迭代鬆弛操作，實際上就是按頂點距離s的層次，逐層生成這棵最短路徑樹的過程。
在對每條邊進行1 遍鬆弛的時候，生成了從s出發，層次至多為1的那些樹枝。也就是說，找到了與s至多有1條邊相聯的那些頂點的最短路徑；對每條邊進行第2遍鬆弛的時候，生成了第2層次的樹枝，就是說找到了經過2條邊相連的那些頂點的最短路徑……。因為最短路徑最多隻包含|v|-1 條邊，所以，只需要迴圈|v|-1 次。
每實施一次鬆弛操作，最短路徑樹上就會有一層頂點達到其最短距離，此後這層頂點的最短距離值就會一直保持不變，不再受後續鬆弛操作的影響。（但是，每次還要判斷鬆弛，這裡浪費了大量的時間，怎麼優化？單純的優化是否可行？）
如果沒有負權迴路，由於最短路徑樹的高度最多隻能是|v|-1，所以最多經過|v|-1遍鬆弛操作後，所有從s可達的頂點必將求出最短距離。如果 d[v]仍保持 +∞，則表明從s到v不可達。
如果有負權迴路，那麼第 |v|-1 遍鬆弛操作仍然會成功，這時，負權迴路上的頂點不會收斂。
例如對於上圖，邊上方框中的數字代表權值，頂點A,B,C之間存在負權迴路。S是源點，頂點中數字表示執行Bellman-Ford演算法後各點的最短距離估計值。
此時d[a] 的值為1，大於d[c]+w(c,a)的值-2，由此d[a]可以鬆弛為-2，然後d[b]又可以鬆弛為-5,d[c]又可以鬆弛為-7.下一個週期，d[a]又可以更新為更小的值，這個過程永遠不會終止。因此，在迭代求解最短路徑階段結束後，可以通過檢驗邊集E的每條邊(u,v)是否滿足關係式 d[v]> d[u]+ w(u,v) 來判斷是否存在負權迴路。
二、基本 Bellman-Ford 演算法的 pascal實現。
見 bellmanford.pas 檔案
三、基本演算法之上的優化。
分析 Bellman-Ford演算法，不難看出，外層迴圈（迭代次數）|v|-1實際上取得是上限。由上面對演算法正確性的證明可知，需要的迭代遍數等於最短路徑樹的高度。如果不存在負權迴路，平均情況下的最短路徑樹的高度應該遠遠小於 |v|-1，在此情況下，多餘最短路徑樹高的迭代遍數就是時間上的浪費，由此，可以依次來實施優化。
從細節上分析，如果在某一遍迭代中，演算法描述中第7行的鬆弛操作未執行，說明該遍迭代所有的邊都沒有被鬆弛。可以證明（怎麼證明？）：至此後，邊集中所有的邊都不需要再被鬆弛，從而可以提前結束迭代過程。這樣，優化的措施就非常簡單了。
設定一個布林型標誌變數 relaxed，初值為false。在內層迴圈中，僅當有邊被成功鬆弛時，將 relaxed 設定為true。如果沒有邊被鬆弛，則提前結束外層迴圈。這一改進可以極大的減少外層迴圈的迭代次數。優化後的 bellman-ford函式如下。
function bellmanford(s:longint):boolean;
begin
for i:=1 to nv do
d[i]:=max;
d[s]:=0;
for i:=1 to nv-1 do
begin
relaxed:=false;
for j:=1 TO ne do
if(d[edges[j].s]<>max) and (d[edges[j].e]>d[edges[j].s]+edges[j].w)
then begin
d[edges[j].e]:=d[edges[j].s]+edges[j].w ;
relaxed:=true;
end;
if not relaxed then break;
end;
for i:=1 to ne do
if d[edges[j].e]>d[edges[j].s]+edges[j].w then exit(false);
exit(true);
end;
這樣看似平凡的優化，會有怎樣的效果呢？有研究表明，對於隨機生成資料的平均情況，時間複雜度的估算公式為
1.13|E| if |E|<|V|
0.95*|E|*lg|V| if |E|>|V|
優化後的演算法在處理有負權迴路的測試資料時，由於每次都會有邊被鬆弛，所以relaxed每次都會被置為true，因而不可能提前終止外層迴圈。這對應了最壞情況，其時間複雜度仍舊為O(VE)。
優化後的演算法的時間複雜度已經和用二叉堆優化的Dijkstra演算法相近了，而編碼的複雜程度遠比後者低。加之Bellman-Ford演算法能處理各種邊值權情況下的最短路徑問題，因而還是非常優秀的。Usaco3.2.6 的程式見bellmanford_1.pas
四、SPFA 演算法
SPFA是目前相當優秀的求最短路徑的演算法，值得我們掌握。
SPFA對Bellman-Ford演算法優化的關鍵之處在於意識到：只有那些在前一遍鬆弛中改變了距離估計值的點，才可能引起他們的鄰接點的距離估計值的改變。因此，用一個先進先出的佇列來存放被成功鬆弛的頂點。初始時，源點s入隊。當佇列不為空時，取出對首頂點，對它的鄰接點進行鬆弛。如果某個鄰接點鬆弛成功，且該鄰接點不在佇列中，則將其入隊。經過有限次的鬆弛操作後，佇列將為空，演算法結束。SPFA演算法的實現，需要用到一個先進先出的佇列 queue 和一個指示頂點是否在佇列中的標記陣列 mark。為了方便查詢某個頂點的鄰接點，圖採用臨界表儲存。
程式儲存在 spfa.pas中。以usaco 3.2.6 試題2為例。用鄰接表寫的程式。
需要注意的是：僅當圖不存在負權迴路時，SPFA能正常工作。如果圖存在負權迴路，由於負權迴路上的頂點無法收斂，總有頂點在入隊和出隊往返，佇列無法為空，這種情況下SPFA無法正常結束。
判斷負權迴路的方案很多，世間流傳最廣的是記錄每個結點進隊次數，超過|V|次表示有負權
還有一種方法為記錄這個結點在路徑中處於的位置，ord[i]，每次更新的時候ord[i]=ord[x]+1，若超過|V|則表示有負圈.....
其他方法還有很多，我反倒覺得流傳最廣的方法是最慢的.......
關於SPFA的時間複雜度，不好準確估計，一般認為是 O（kE），k是常數
五、時間效率實測
上述介紹的Bellman-Ford演算法及兩種的優化，只是在理論上分析了時間複雜度，用實際的資料測試，會有什麼結果呢？為此，我們選擇 usaco 3.2.6。
Spfa的時間效率還是很高的。並且spfa的程式設計複雜度要比Dijksta+heap優化要好的多。
六、結論
經過優化Bellman-Ford演算法是非常優化的求單源最短路徑的演算法，SPFA時間效率要優於第一種優化形式，但第一種優化形式的編碼複雜度低於SPFA。兩種優化形式的程式設計複雜度都低於Dijkstra演算法。如果在判斷是否存在負權迴路，推薦使用第一種優化形式，否則推薦使用SPFA。