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靜態區間第k大(歸併樹)

POJ 2104為例

思想:

利用歸併排序的思想:

  • 建樹過程和歸併排序類似,每個數列都是子樹序列的合併與排序。
  • 查詢過程,如果所查詢區間完全包含在當前區間中,則直接返回當前區間內小於所求數的元素個數,否則遞迴的對子樹進行求解並相加。
  • 使用STL中的merge對子序列進行合併及排序。
  • 時間複雜度O(nlogn+mlog3n)

程式碼(vector實現):

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace
std;//[) const int maxn = 1000010; vector<int>dat[maxn*3]; int sorted[maxn], a[maxn]; void build(int k, int l, int r) { if(r - l == 1) dat[k].push_back(a[l]); else { int lch = 2 * k + 1, rch = 2 * k + 2; build(lch, l, (l + r)/2); build(rch, (l + r)/2, r); dat[k].resize(r - l); merge(dat[lch].begin(), dat[lch].end(), dat[rch].begin(), dat[rch].end(),dat[k].begin()); } } int
query(int l, int r, int x, int k, int L, int R) { if(r <= L|| l >= R) return 0;//不相交 else if(l <= L && R <= r){//完全包含 return lower_bound(dat[k].begin(), dat[k].end(), x) - dat[k].begin(); } else { int lch = 2 * k + 1, rch = 2 * k + 2; int lsum = query(l, r, x, lch, L, (L + R)/2
); int rsum = query(l, r, x, rch, (L + R)/2, R); return lsum + rsum; } } int main (void) { int n, m;scanf("%d%d",&n,&m); for(int i = 0; i < n; i++){ scanf("%d",&a[i]); sorted[i] = a[i]; } sort(sorted, sorted+n); build(0, 0, n); int tl, tr, k; while(m--){ scanf("%d%d%d",&tl,&tr,&k); int l = 0, r = n; while(r - l >1){ int mid = l + (r - l)/2; int c = query(tl-1, tr, sorted[mid], 0, 0 ,n); if(c <= k - 1 ) l = mid; else r = mid; } printf("%d\n", sorted[l]); } return 0; }//6000+ms

程式碼(陣列實現):

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;//[)
const int maxn = 1000010;
int dat[20][3*maxn];
int sorted[maxn], a[maxn];
void build(int p, int l, int r)
{
    if(r - l == 1) dat[p][l] = a[l];
    else {
        build(p+1, l, (l + r)/2);
        build(p+1, (l + r)/2, r);
        merge(dat[p+1] + l, dat[p+1] + (l + r)/2, dat[p+1] + (l + r)/2, dat[p+1] + r, dat[p]+l);
    }
}
int query(int l, int r, int x, int p, int L, int R)
{
    if(r <= L|| l >= R) return 0;//不相交
    else if(l <= L && R <= r){//完全包含
        return lower_bound(dat[p]+L, dat[p]+R, x) - (dat[p]+L);
    }
    else {
        int lsum = query(l, r, x, p+1, L, (L + R)/2);
        int rsum = query(l, r, x, p+1, (L + R)/2, R);
        return lsum + rsum;
    }
}
int main (void)
{
    int n, m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sorted[i] = a[i];
    }
    sort(sorted, sorted+n);
    build(0, 0, n);
    int tl, tr, k;
    while(m--){
        scanf("%d%d%d",&tl,&tr,&k);
        int l = 0, r = n;
        while(r - l >1){
            int mid = l + (r - l)/2;
            int c = query(tl-1, tr, sorted[mid], 0, 0 ,n);
            if(c <= k - 1  ) l = mid;
            else r = mid;
        }
        printf("%d\n", sorted[l]);
    }
    return 0;
}//2000+ms

  • 陣列實現的要比vector快很多。
  • 歸併樹需要二分求解,但是劃分樹並不需要。因為劃分樹是從上到下,每次都用陣列記錄劃分到左子樹的元素個數,所以可以直接求得區間第k大數,而歸併樹是由下到上,每次對子樹進行簡單的合併和排序,並沒有對劃分到左子樹的元素進行追蹤,所以需要二分搜尋答案,即線段樹+二分。所以在求靜態區間第k大時劃分樹也就比歸併樹要快。