一、斐波那契數列

由於斐波納挈數列是以兔子的繁殖引入的，因此也叫“兔子數列”。它指的是這樣一個數列：0,1,1,2,3,5,8,13......從這組數可以很明顯看出這樣一個規律：從第三個數開始，後邊一個數一定是在其之前兩個數的和。在數學上，斐波納挈數列可以以這樣的公式表示：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2),(n>=2)

二、斐波納挈數列的實現

既然該數列已經有這樣一個規律：F(n) = F(n-1) + F(n-2)；那麼我們很容易就能想到用遞迴的方法，這樣寫出來的程式碼比較簡潔

long long Fib1(long long num)
{
	assert(num >= 0);

	//遞迴
	if ((num == 1) || (num == 0))
	{
		return num;
	}
	return Fib1(num-1)+Fib1(num-2);
}
 

long long Fib1(long long num)
{
	assert(num >= 0);

	//遞迴
	return num<2 ? num:(Fib1(num-1)+Fib1(num-2));
}

這樣的遞迴演算法雖然只有簡單的幾行，但是效率卻很低。為什麼呢？我們可以分析其遞迴呼叫的時間複雜度：

時間複雜度 ----- O(2^N)

由於使用遞迴時，其執行步驟是：要得到後一個數之前必須先計算出之前的兩個數，即在每個遞迴呼叫時都會觸發另外兩個遞迴呼叫，例如：要得到F(10)之前得先得到F(9)、F(8)，那麼得到F(9)之前得先得到F(8)、F(7)......如此遞迴下去

從上圖我們可以看出，這樣的計算是以 2 的次方在增長的。除此之外，我們也可以看到，F(8)和F(7)的值都被多次計算，如果遞迴的深度越深，那麼F(8)和F(7)的值會被計算更多次，但是這樣計算的結果都是一樣的，除了其中之一外，其餘的都是浪費，可想而知，這樣的開銷是非常恐怖的！

所以，如果在時間複雜度和空間複雜度都有要求的話，我們可以用以下兩種非遞迴演算法來實現：

@@：時間複雜度為O(N)，空間複雜度為O(N)

建立一個數組，每次將前兩個數相加後直接賦給後一個數。這樣的話，有N個數就建立一個包含N個數的一維陣列，所以空間複雜度為O(N)；由於只需從頭向尾遍歷一邊，時間複雜度為O(N)

long long* Fib2(long long num)
{
	assert(num >= 0);
	//非遞迴
	long long* array = new long long[num+1];
	array[0] = 0;
	array[1] = 1;
	for (int i=2; i<=num; i++)
	{
		array[i] = array[i-1] + array[i-2];
	}
	return array;
}
 

@@：時間複雜度為O(N)，空間複雜度為O(1)

藉助兩個變數 first 和 second ，每次將 first 和 second 相加後賦給 third ，再將 second 賦給 first ，third 賦給 second，如此迴圈。

long long Fib3(long long num)
{
	assert(num >= 0);
	long long first = 0;
	long long second = 1;
	long long third = 0;
	for(int i=2; i<=num; i++)
	{
		third = first + second;
		first = second;
		second = third;
	}
	return third;
}