斐波那契數列，但凡學過程式設計的童鞋們應該都懂，背景就不介紹了（就是大兔子生小兔子的故事），無論是面試還是實際的運用，常見的一個思路就是先用最先基本的辦法實現，然後根據實際要求，一步步改進，優化演算法效率。今天就以斐波那契數列這個大家都很熟悉的為例來小小感受一下。

1. Version 1
2. long Fibonacci(int n)   
3. {   
4.   if (n == 0)   
5.       return0;   
6.   elseif (n == 1)   
7.       return1;   
8.   elseif (n > 1)   
9.        return Fibonacci (n - 
   1) + Fibonacci (n - 2);   
10.   else
11.        return -1;   
12. }  

用

那麼，自然的想法是，有什麼辦法可以減少遞迴的次數呢？再觀察上圖，可以看出，有重複的遞迴呼叫。比如F(3)就計算過兩次，一個解決的方法就是記錄下來已經得到結果的F（n），避免重複多次計算。

1. long Fibonacci2(int n)   
2. {   
3.   if (n == 0)   
4.      return0;   
5.   elseif (n == 1)   
6.     return1;   
7.   elseif (n > 1)   
8.   {   
9.     if(tempResult[n] != 0)   
10.       return tempResult[n];   
11.     else
12.     {   
13.           tempResult[n] = Fibonacci2 (n - 1) + Fibonacci2 (n - 
    2);   
14.           return tempResult[n];   
15.      }   
16.    }   
17. }   

1. long Fibonacci3(int n)   
2. {   
3.   long * temp = newlong[n + 1];   
4.   temp[0] = 0;   
5.   if (n > 0)   
6.      temp[1] = 1;   
7.    for(int i = 2; i <= n; ++i)   
8.   {   
9.      temp[i] = temp[i - 1] + temp[i - 2];   
10.   }   
11.   long result = temp[n];   
12.   delete[] temp;   
13.   return result;   
14. }  

現在，當N=1000000的時候，時間仍然小於1秒了。 當然，問題還沒有結束，雖然version3看上去已經是一個效率很好的演算法了。前面的解決方式都是自然的從演算法角度來考慮，但是，數學的力量是偉大的。version3的複雜度是O（n），有沒有對數級的演算法，或者更好的，常量時間演算法呢？ 迴歸到高中數學，發現f(n)=f(n-1)+f(n-2)是一個數列的通項公式，經過化簡，我們可以得到它的遞推公式，可以一步得出結果，為O(1)的時間複雜度。但是由於最後的遞推公式中含有無理數，所以不能保證結果的精度。  

斐波那契數列：兔子問題及其應用

斐波那契(Fibonacci1170-1250)，義大利最傑出的數學家。其父為比薩的商人，他認為數學是有用的，因此送斐波那契向阿拉伯教師們學習數學，掌握了印度數碼之一新的記數體系，後來遊歷埃及、敘利亞、希臘、西西里、法國等地，掌握了不同國家和地區商業的算術體系，1200年回答比薩，潛心研究數學，1202年寫成《算盤全集》，此書廣為流傳，為在歐洲傳播印度-阿拉伯數碼起了重要的作用。

1228斐波那契在修訂《算盤全集》修訂本中，增加了一道非常有名的兔子繁殖問題，問題是這樣的：如果一對兔子每月生一對兔子；一對新生兔，從第二個月起就開始生兔子；假定每對兔子都是一雌一雄，試問一對兔子，一年能繁殖成多少對兔子？

先看前幾個月的情況：第一個月有一對剛出生的兔子，即F(1)=1；第二個月，這對兔子長成成年兔，即F(2)=1；第三個月，這對成年兔生出一對小兔，共有兩對兔子，即F(3)=2；第四個月，成年兔又生出一對小兔，原出生的兔子長成成年兔，共有三對兔子，即F(4)=3；第五個月，原成年兔又生出一對小兔，新成年兔也生出一對小兔，共有五對兔子，即F(5)=5；……以此類推，可得每個月的兔子對數，組成數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，這就是著名的斐波那契數列，其中的任一個數，都叫斐波那契數。

題中本質上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，稱為成年兔子；新生的兔子不能生殖；新生兔子一個月就長成成年兔子。求的是成年兔子與新生兔子的總和。每月新生兔對數等於上月成年兔對數。每月成年兔對數等於上個月成年兔對數與新生兔對數之和。最後得關係式：

F(1)=F(2)=1；

F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)。

法國數學家比內(Binet)證明了通項公式為

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int i,a[30]={0,1,1};//陣列的定義，用來儲存資料
 for(i=3;i<30;i++)
 {
  a[i]=a[i-1]+a[i-2];//Fibonacci的算術方程
 }
 for(i=1;i<30;i++)
 {
  printf("a[%d]=%d\n",i,a[i]);//輸出
 }
}

C++基礎譚浩強書裡的程式

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int main()
{
 long f1,f2;
 int i;
 f1=f2=1;
 for(i=1;i<20;i++)
 {
  cout<<setw(12)<<f1<<setw(12)<<f2;
  if(i%2==0)cout<<endl;
  f1=f1+f2;
  f2=f2+f1;
 }
 return 0;
}