先來最基本的線性篩素數，以後的演算法其實都是基於這個最基本的演算法：

#include<stdio.h> #include<string.h> #define M 10000000 int prime[M/3]; bool flag[M]; void get_prime() { int i,j,k; memset(flag,false,sizeof(flag)); k=0; for(i=2;i<M;i++){ if(!flag[i]) prime[k++]=i; for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){ flag[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0) break; } } } int main() {}

利用了每個合數必有一個最小素因子，每個合數僅被它的最小素因子篩去正好一次，所以是線性時間。
程式碼中體現在： if(i%prime[j]==0) break;
----------------------------------------------------------------------- 我是低調的分割線 ------------------------------------------------------------------------------------------
然後可以利用這種線性篩法求尤拉函式，需要用到以下幾個性質：
//(1) 若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 則有:E(N)=E(N/a)*a;
//(2) 若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 則有:E(N)=E(N/a)*(a-1); 
其中a是N的質因數。
關於尤拉函式還有以下性質：
(1) phi[p]=p-1;  (p為素數);
(2)若N=p^n(p為素數)，則 phi[N]=(p-1)*p^(n-1);
關於尤拉函式，Wiki有很詳細的介紹。

#include<stdio.h> #include<string.h> #define M 10000000 int prime[M/3],phi[M]; bool flag[M]; void get_prime() { int i,j,k; memset(flag,false,sizeof(flag)); k=0; for(i=2;i<M;i++){ if(!flag[i]){ prime[k++]=i; phi[i]=i-1; } for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){ flag[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0){ phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); } } } int main() {}

-----------------------------------------------------------------------我 是低調的分割線 -----------------------------------------------------------------------------------------
求約數個數略微複雜一點，但大體還是那個意思。
約數個數的性質，對於一個數N，N=p1^a1 + p2^a2 + ... + pn^an。其中p1 ,p2, p3... pn是N的質因數，a1 ,a2, a2,...an為相應的指數，則
                                                           div_num[N]=(p1+1)*(p2+1)*(p3+1)* ... *(pn+1);
結合這個演算法的特點，在程式中如下運用：
  對於div_num：

(1)如果i|prime[j] 那麼 div_num[i*prime[j]]=div_sum[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2)                  //最小素因子次數加1
(2)否則 div_num[i*prime[j]]=div_num[i]*div_num[prime[j]]                                     //滿足積性函式條件

  對於e：

(1)如果i|pr[j]  e[i*pr[j]]=e[i]+1; //最小素因子次數加1
(2)否則 e[i*pr[j]]=1;              //pr[j]為1次

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define M 10000000
int prime[M/3],e[M/3],div_num[M];           // e[i]表示第i個素數因子的個數
bool flag[M];
void get_prime()
{
	int i,j,k;
	memset(flag,false,sizeof(flag));
	k=0;
	for(i=2;i<M;i++){
		if(!flag[i]){                            
             		prime[k++]=i;
             		e[i]=1;
           		div_num[i]=2;                       //素數的約數個數為2
       		}
         	for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){
            		flag[i*prime[j]]=true;            
             		if(i%prime[j]==0){
               			div_num[i*prime[j]]=div_num[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);
                		e[i*prime[j]]=e[i]+1;
                 		break;
            		}
            		else{
                 		div_num[i*prime[j]]=div_num[i]*div_num[prime[j]];
                 		e[i]=1;
             		}
         	}
    	}
}
int main()
{}

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