原文來自 Joao F. Henriques 等人的“High-Speed Tracking with Kernelized Correlation Filters”，原工作見12年的ECCV，現有工作見15年的PAMI。

本文後面提及的“我們”預設指原作者。
另外，為與演算法課程的內容區分，將“algorithm”譯為“方法”。你管我~ ╭(￣m￣*)╮

摘要

大多目前的濾波器的核心部分是一個可分性濾波器，該濾波器的任務是區分目標與周圍環境。為解決自然影象中的變化，典型的方法是用平移和縮放的樣本塊（patches）來訓練分類器。這樣的樣本集充滿冗餘 - 將所有重疊的畫素約束為相同的畫素

。基於這一簡單的觀察，為包含上千個平移的影象塊的資料集提出了一分析模型。可用離散傅立葉變換對角化已有的迴圈矩陣，極大降低了儲存和計算量。有趣的是，對於線性迴歸，我們的公式與相關濾波器等價（一些最快的有競爭力的跟蹤器常用相關濾波器）；然而，對於核迴歸，不同於其它核方法（複雜度與其線性部分相同），提出新的核化的相關濾波器（Kernelized Correlation Filter）。在核化的相關濾波器的基礎上，提出通過線性核，擴充套件線性相關濾波器至多通道，我們稱為“對偶的相關濾波器（Dual Correlation Filter）”。儘管每秒執行上百幀，且用到的程式碼行數很少（方法 1），KCF和DCF仍在包含50

個視訊的基準資料集上超越了Struck或TLD。為進一步發展，該跟蹤框架已開源。

1 簡介

2 相關工作

2.1 檢測後跟蹤（tracking-by-detection）

2.2 取樣平移和相關性跟蹤

2.3 後續工作

此處偷懶，略去n個字。o(‵▽′)ψ

3 貢獻

之前提出該工作的初版。首次表明，用迴圈平移的樣本關聯嶺迴歸（Ridge Regression）與經典的相關濾波器。從而可用O(nlogn)的快速傅立葉變換來快速學習（而不是計算代價高昂的矩陣代數）。儘管受限於單通道影象，仍提出了第1個核化的相關濾波器。另外，提出計算所有迴圈平移的閉式解。其計算代價同樣為O

(nlogn)，並被派生至徑向基與點積核。

目前的工作很大程度上附加了初版的工作。用更簡單的對角化來獲得原結果（4−6節）。擴充套件原工作至多通道，用先進的特徵使效果有很大提升（7節）。在原結果的基礎上新增大量新的分析和直觀的解釋。也將原實驗從12個視訊擴充套件至50個視訊，並新增基於方向梯度直方圖（HOG，而不是原畫素（raw pixel））的KCF跟蹤器的變種。用線性核，另外提出計算代價很低但效果逼近非線性核的一個線性多通道濾波器。稱之為對偶的相關濾波器（DCF），並表明DCF如何關聯一系列最近的計算代價更高的多通道濾波器。實驗上，KCF已優於無特徵提取的線性濾波器。使用HOG特徵後，使線性DCF與非線性KCF的效果遠優於頂級跟蹤器（Struck或TLD），同時以每秒上百幀舒適執行。

4 元件

本節，為不同平移後提取的影象塊提出一分析模型，計算線性迴歸的影響。並表明線性迴歸與經典的相關濾波器間的聯絡。這些元件使我們能研究5−7節中更復雜的演算法。

4.1 線性迴歸

這裡將關注嶺迴歸，因為嶺迴歸可輸出簡單的閉式解，並可實現接近更成熟方法（如支援向量機）的效果。訓練的目的，是為尋找函式f(z)=wTz，該函式可最小化樣本xi與它們的迴歸目標yi上的平方誤差。

minw∑i(f(xi)−yi)2+λ||w||2.1024(1)
其中，λ為控制過擬合的正則引數。該最小化目標函式有閉式解，
w=(XTX+λI)−1XTy.1024(2)
從4.4節起，計算會在頻域，頻域中的數值通常為複數。此時用方程(2)的複雜版本即可求解，
w=(XHX+λI)−1XHy.1024(3)
其中，XH為Hermitian 轉置，即XH=(X∗)T，且X∗為X的複數共軛。對於實數矩陣，方程(3)等價方程(2)。

總的來說，求解大的線性方程阻礙瞭解的實時計算。所以，下一段將看到可超越該限制的xi的特例。

4.2 迴圈移位（cyclic shift）

為表述簡潔，這裡將關注單通道的一維訊號。可直接泛化至多通道的二維影象（7節）。

考慮一個n×1的向量x，該向量表示感興趣物體的1個影象塊，將其看作基樣本（base sample）。目標是訓練基樣本（1個正例）和平移基樣本得到的若干個假樣本（視為反例）。用迴圈移位操作符來平移一維向量，得到置換矩陣（permutation matrix），

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢010...0001...0000..................1100...0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥.1024(4)

則乘積Px=[xn,x1,x2,...,xn−1]T為x平移1個元素，形成小平移。可用矩陣的乘方Pux來鏈式移位u次，從而實現更大平移。u為負數時朝反方向移位。用該方法水平移動後的1維訊號和

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