編者按：在正式轉載這篇文章前，需要說明的是：Gauss-Bonnet定理  

         其中Γ是二維可定向閉曲面， 其邊界為∂Γ，K為高斯曲率，χ( Γ) 為曲面 Γ的尤拉示性數。根據SCIBird老師的說法："高斯曲率K是區域性概念，而尤拉示性數χ( Γ)（拓撲不變數）是一個整體性概念，Gauss-Bonnet 公式將區域性性與整體性聯絡起來了，是一個深刻的結果！"，其中的Gauss-Bonnet-Chern定理是陳省身老師關於高維空間Gauss-Bonnet定理的內蘊證明。關於Gauss-Bonnet定理還有一個尤為重要的形式，就是Atiyah-Singer指標定理了。Atiyah-Singer指標定理的表述極其晦澀難懂，我們只需要知道它是一個很好的整體性定理就可以了。何為整體性定理？本人認為如果將公式本身看做一個“系統”，那麼它是由若干要素組成的具有一定新功能的有機整體，各個作為系統子單元的要素一旦按照“特定的規則”組成了系統整體，它就具有獨立要素所不具有的性質和功能，形成了新的質的特徵，而表現出整體的性質和功能往往與各個要素的性質和功能的簡單加和不相等（例如：氫氣+氯氣->HCl，HCl有區別於氫氣和氯氣所獨有的特性）。

    早在Gauss十五歲時，他就構想了一種幾何，這種幾何中Euclid幾何中的第五公設不再成立，他把這個幾何成為“星空幾何”，或許他預計到這種幾何在浩瀚星空中可能實現。

    但是我們都知道，真正公開地、系統地提出這個幾何的是Lobachevskii（有些英文文獻是Lobachevsky，俄國人的名字再翻譯成英文時可以有些小差別。）所以這種幾何被稱作“Lobachevskii幾何（Lobachevskian Geometry），也稱為雙曲幾何（Hyperbolic Geometry）。在雙曲幾何中，三角形內角和不再等於180度。但是我們需要的不僅是這個定性結果，而是要確定內角和與180度的偏差程度，即所 謂的“角盈”，角度的盈餘，當然這個盈餘時廣義上的盈餘，如果差別為負數，那麼就是負的盈餘了：）

    描述這個差別的就是著名的（區域性）Gauss-Bonnet定理，它將曲面的曲率與角盈直接聯絡在一起。曲面上多邊形的Gauss曲率K在曲面上的積分加上多邊形邊界曲線的測地曲率k_g在邊界上的積分再加上多邊形外角和等於2π，如果這個多邊形的 邊界曲線是測地線，那麼測地曲率就為0，這時候測地曲率的積分就為零，計算將大大簡化。如果是測地三角形，那麼我們馬上可以得出三角形內角和公式的推廣 。由於內角與外角的互補關係，所以公式將變為：三角形內角和減去π等於Gauss 曲率K在在三角形所圍曲面上的積分。於是我們可以知道：

    如果K等於零，那麼這剛好就是平面三角形，角盈為零，三角形內角和等於π；

    如果K大於零，那麼這就是類似於球面上的三角形，角盈為正，三角形內角和大於π；

    如果K小於零，那麼這就是類似於偽球面上的三角形，角盈為負，三角形內角和小於π。

    因此Gauss-Bonnet公式即使特殊化兩次（第一次先讓多邊形邊界曲線的測地曲率為零，第二次讓多邊形為三角形）後仍然得出這三個優美結果，直接推廣了三角形內角和公式。

    而整體的Gauss-Bonnet定理更加優美：緊緻定向的二維Riemann流形M（可以粗略地看為是曲面的推廣）的Gauss曲率的積分值等於2πχ（M），其中χ（M）是M的 Euler示性數，典型的整體的離散值，而Gauss曲率可以連續取值的區域性值。這裡，測地曲率的線積分被直接抵消，我們想想複變函式中證明多連通域的Cauchy積分定理時輔助線積分的互相抵消得出得優美結果（實際上我們在證明多連通域的 Grenn定理時就有這個方法了），就可以類推想象這個結果。只是在整體Gauss- Bonnet定理的證明中是用了著名的“三角剖分”把區域分稱一個個三角形，抵消線積分（在單連通域的Cauchy積分定理的現代證明中也用到三角剖分），而多連通域的Cauchy積分定理中是將多連通區域劃分成一個個單連通區域。我們從這裡 也可以看出數學中很多領域的研究有著異曲同工之妙。這樣一個公式就巧妙地將起兩個迥異的重要概念完美結合。

    後來，曲率經過Riemann的推廣成為幾何中的核心概念，Euler示性數經過Poincare的推廣後成為拓撲學中的核心概念，這兩個概念在整體微分幾何中巧妙結合，而這種巧妙的結合就是由於Chern關於高維複流形（complex manifold）上的Gauss-Bonnet定理的直接的、內蘊的推廣。果然應了“龍生龍，鳳生鳳，老鼠兒子會打洞”這句俗話。偉大的定理，經過偉大的推廣，產生更加偉大的學科。

    當年Weil和Allendorff用分塊切割嵌入高維Euclidean空間中證明推廣這個定理時，Nash嵌入定理還未出現，所以前提首先就不成立。在加上一個內蘊的優美結果 卻用外蘊的方式來推廣，實在很令人不滿意。所以Chern一到美國，Weil就把這個 想法告訴Chern，並斷定這個定理一定有內蘊的證明方法。Chern很快就完成這個證明了。當時數一數二的數學大師Weyl看了這個結果後驚未神來之筆，讚歎祝賀 。Weil則斷定這是幾何學里程碑式的偉大工作。

    在這裡，我們從雙曲幾何一直說到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理，我們還要提 到一個人，那就是偉大的Riemann，正是他創立了狹義的Riemanan幾何（Riemann Geometry），然後又把這個結果納入他創立的極度深邃的“廣義Riemanan幾何 （Riemannian Geometry，分清楚與Riemann Geometry的區別，它們形式上差別是 “ian”，實質上的差別卻是“常曲率”與“任意曲率”的差別），推廣了Gauss 的曲面內蘊幾何學，定義了抽象Riemann度量，僅僅在2維情形就直接擺脫了Euclidean空間的嵌入研究，使曲面的研究不再等價於3維Euclidean空間中的曲面 研究。著名的Poincare上半平面上定義了Poincare度量，它無法在3維Euclidean 空間中實現嵌入，Poincare度量就是Riemann度量的一種。

    正如Milnor的所言，雙曲幾何在Riemann幾何出現前只是沒手沒腳的軀幹而已。Riemann讓這個軀幹成為正常人體。

    Riemanan之後，Beltrami使偽球面上實現了局部的雙曲幾何，Klein在開單位圓（ 不包括圓周）上實現了整體的雙曲幾何，而Poincare在上半平面（不包括實數軸 ）上實現了整體雙曲幾何。容易證明，單位圓和上半平面存在共形對映，而單位 圓周和實數軸作為兩個域的邊界，也一一對應。在單位圓上賦予Poincare度量（Poincare metric），就可以計算出它的截面曲率為-1，證明雙曲幾何的空間曲 率小於零。正如我們所知道的，雙曲幾何從Poincare去世後發展至今，最牛的人 物是Thurston，Fields獎獲得者。此外，這個學科的發展很緩慢，足見其艱難，也足見Poincare之偉大。

    大名鼎鼎的Schwarzschild早在26歲時就考慮過宇宙如果為彎曲的話，曲率半徑應 該為多少，他在19世紀末時就說：“本世紀有人在Euclid幾何之外提出non- Euclid幾何，其主要例項就是球面空間和偽球面空間。我們如果知道可能具有有限曲率半徑的球面和偽球面幾何中世界是什麼樣子，我們會感到驚訝。如果有這種可能，你會感到自己處在幾何學的仙境裡；而且如此美妙的仙境會不會變為現實，我們也無法知道。”（摘錄自Chandrasekhar於1986年的Schwarzschild講座中所引用文字，楊建鄴、王曉明等譯）

    他還應用當時的天文學資料估算了3維空間曲率半徑的極限，認為雙曲空間與球形空間的曲率半徑的下限分別為64光年和1600光年。

    我們當然知道，在1900年的時候，天文測距技術還是不完善的，實際上Einstein 提出靜態宇宙學模型時（1917年）對宇宙大小的認識還是很模糊的，甚至於Hubble提出膨脹宇宙學說時，由於造父變星光度的分析有錯誤，使得宇宙的觀測也相應出現嚴重失誤。因此，在Schwarzschild那個時代，對宇宙有著如此的夢幻與計算，實在是非常了不起的。他的思想已經深入到雙曲幾何和橢圓幾何中去了。

    說個題外話，現代微分幾何學家處理三維問題和四維問題時面對的困難相差時很大的，因為三維空間Ricci曲率如果為零，則Riemann截面曲率就為零，而四維空間沒有這個性質。但是在Schwarzschild那時，他肯定無法考慮到這個，所以如果 他牛到直接考慮四維時空，也照樣提刀上陣：）

    我們也知道，Lobachevskii在提出雙曲幾何時就已經想象到它或許會在宇宙中實現，他說：“同時，不能不重視Laplace的見解：我們所見到的星星餓銀河只屬於天體的一部分，就像微弱的、若隱若現的斑點，類似於我們在獵戶星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一樣。於是，且不說在想象中空間可以無限地延伸，自然界本身向我們顯示的距離，甚至同我們的地球到恆星的距離相比，後者也因微小而可以忽略。此外，不能進而斷言，假定直線的度量不依賴於角——這一假設，許多幾何學家想採納它作為毋需證明的嚴格的真理——可能在我們過渡到可見世界的極限之前，就會發現它有可以覺察到的錯誤。”

    英國的Clifford實際上也設想過這個問題，但是到了Schwarzschild時，這個夢想被繼續深化了。這樣我們就可以理解為什麼Einstein一搞出廣義相對論，Schwarzschild就給出第一個精確解，人家早就是老手了，學起這些新的幾何學也 時易如反掌，再加上解偏微分方程的特殊能力，使得Einstein對這個結果讚賞不已，比起6年後對待的Friedman，可謂無比真誠了。

    我們理當也多說幾句關於橢圓幾何的問題，因為它和雙曲幾何（Hyperbolic Geometry）一樣是non-Euclidean Geometry，但是考慮到從Euclidean Geometry 到Hyperbolic Geometry的實質性跨越，雙曲幾何到橢圓幾何的跨越幾乎為零，只是平行發展而已，我並沒有貶低Riemann的意思，橢圓幾何只是上面說的“狹義的Riemanan幾何”，僅僅憑藉廣義的Riemann幾何學，Riemann的偉大已經不再需要這個安慰獎了，何況他還是其他多項無上的光榮：Riemann面，Riemann假設等等。

    寫道篇末，想起了一個巧合：Gauss和Schwarzschild都擔任過Gotinggen天 文臺臺長。一個因為數學而天文，一個因為天文而數學，妙。

轉載自：繁星客棧      作者：萍蹤浪跡