題目連結

題解已經講得非常清楚了，補充一點細節吧。

(1).關於笛卡爾定理

對於此題，只需要瞭解這麼一個性質：（來自wiki 用的谷歌翻譯，若有偏差還請指出~）

定義一個圓的曲率k=±1r，其中r是其半徑。
若平面有兩兩相切，且有6個獨立切點的四個圓，設其曲率為k1,k2,k3,k4（若該圓與其他圓均外切，則曲率取正，否則取負）則其滿足性質：

(2).關於韋達定理
對於此題，第一個與已知圓相切的圓的半徑非常好求，其半徑r3=(r1−r2)，其中r1是已知圓中較大圓的半徑。

故我們現在k1,k2,k3均為已知，代入上面笛卡爾定理的式子便能求解出k

直接求解是挺困難的，設兩個解是x1,x2，利用韋達定理：

因為k4所代表的圓與前三個圓均相切，對於此題，x1,x2就是k3所代表圓左右兩個圓的曲率。

對於題目給的圖：
若k3代表圓1，則x1,x2分別代表圓2和圓3
若k3代表圓2，則x1,x2分別代表圓1和圓4

這樣我們就可以類似迭代的方式，不斷往後遞推求解。

另外小心精度和時間的問題。
因為N越大，其後面的圓的面積對於答案的貢獻幾乎可以忽略不計，這時要及時退出迴圈，避免超時。

親測，當eps取(1e-13)時跑得最快。

218msAC
程式碼：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const double eps = 1e-13;
const double PI = acos(-1.0);
int main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int r1,r2,n;
        scanf
 
("%d%d%d",&r1,&r2,&n);
        if(r1 < r2) swap(r1,r2);
        double k1 = -1.0/r1,k2 = 1.0/r2,k3 = 1.0/(r1-r2);
        double k4 = k1 + k2 + k3;
        double ans = (r1-r2)*(r1-r2);
        n--;
        for(int i=1 ;i<=n ;i+=2){
            double r4 = 1.0/k4;
            if(r4*r4 < eps) break;
            ans += r4*r4;if(i+1<=n) ans += r4*r4;
            double k5 = 2*(k1+k2+k4) - k3;
            k3 = k4;k4 = k5;
        }
        printf("%.5f\n",ans*PI);
    }
    return 0;
}