作者：相國大人

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1. 導讀

卷積神經網路CNN常用於處理具有柵格拓撲特徵的資料。時間序列資料可以看做是在固定時間間隔取樣的一維網格資料；影象可以看做是由畫素組成的一個二維網格。在實際應用中，具有很好的效果。也是進入深度學習領域需要掌握的最基本的網路模型。卷積網路使用卷積來代替一般的矩陣乘法。將一層卷積結果作為一個輸出層。
本文是一之後系列博文的第一篇。在本系列博文中，我們會全方位，足夠深入的為你講解CNN的知識。包括很多你之前在網上找了很多資料也沒搞清楚的東西，例如：
1. 我們會全面深入的介紹卷積的概念，讓你不僅僅知道卷積的運算，還能夠從理性和感性的雙重角度，理解卷積的意義。我們還會探討為什麼要使用卷積網路，卷積網路究竟有什麼特性。
2. 我們會詳細介紹池化的概念，並且告訴你為什麼要做池化操作，池化操作究竟有什麼特別的好處。
3. 我們會全面介紹CNN的各種形式。如：standard convolution,valid convolution, same convolution,full convolution,unshared convolution,tiled convolution等等。尤其是tiled convolution我們會用最能夠讓人理解的方式，讓你透徹明白其中的原理。這一點，我們的工作要比網上其他博文做得更好。
4. 我們還將詳細探討卷積與矩陣乘法的關係。這一點，我們的工作也要比網上其他博文作的好。
5. 除此之外，我們還會探討更多，更深入的知識，例如：CNN中的其他操作（如反捲積等），如何在資料集上使用不同維度的卷積，使得卷積操作更高效的方式 ，使用tensorflow進行CNN的實現，討論並實現如何使用CNN做中文文字分類。

所有這些精彩的內容，都會在我接下來的博文中一一介紹。
因此，與網上其他博文相比，我們的工作更好，主要體現在：
1.對理論的介紹足夠深入易懂
2. 我們會利用CNN做文字分類的實踐。
3. 我們會繪製大量精美的示意圖。保證博文的高質量和美觀。

接下來，我們為大家介紹卷積的概念

2. 卷積

假如我們現在要追蹤一艘船的位置，這艘船會給我們返回當前時刻t的它的位置座標x(t),這裡的x和t都是實數。如果這個函式返回的值有些噪聲干擾，那麼我們能夠想到的一個策略，就是取鄰域求均值。如下圖所示，我們用最近觀測到的結果做一個加權求和。只不過，這個權重顯然應該是離當前時刻越近越大才合理一些。這樣，我們不妨假設權重函式為ω

(Δt),那麼對於一個特定時刻α，而言，加權求和中，關於它的一項，應該寫為：x(α)ω(t−α).如果對所有時刻進行求和，我們就可以得到一個新的函式s(t)，表示對x(t)的一個平滑的估計：

s(t)=∫x(α)ω(t−α)dα(2.1)
我們把上面這個操作，叫做卷積(convolution).常常簡寫為：
s(t)=(x∗w)(t)(2.2) 圖片2.1 卷積示意圖

在我們這個場景（追蹤船位置）中，我們的函式ω是權重函式，因此，它在全域上的積分和應該為1，並且是非負函式。因此這個ω函式，實質上就是一個概率密度函式。並且ω(t)=0,if:t<0,否則這意味著我們可以看到未來的資料，這不符合此場景下的邏輯。
但事實上，剛才說到的這兩個限制，僅僅是在我們這個場景中是成立的。對於一般的卷積定義來說，不管ω

是什麼樣的函式，只要可以寫成公式(2.1,2.2)的形式，我們都稱之為卷積操作。
特別的，在深度學習領域中，我們把公式(2.1,2.2)中的x叫做輸入(input)，把ω叫做核(kernel)，而輸出s叫做特徵對映(feature map).本文接下來的所有論述中，將直接使用英文術語。

在剛才的場景中，我們預設x是連續的函式。事實上，在很多實際情況中，尤其是在深度學習中，這是不可能的。通常情況下，當我們處理計算機上的資料時，時間是離散化的。因此，我們接下來不妨假設，在剛才的場景中，函式x(t)中，引數t只能取得整數值，這樣，一個離散化的卷積定義就出現了：

s[n]=(x∗ω)(n)=∑m=−∞∞x[m]ω[n−m](2.3)

在機器學習領域中，我們的input往往是多維陣列，kernel也是由學習引數構成的多維陣列。這樣以來，我們可以把這些多維陣列看做是張量。從公式(2.3)中可以看到，我們需要對無窮多資料進行求和，但實際上，如果我們假定，除了我們儲存的觀測值之外，其他沒有觀測到的值，統統記為0，那麼就可以通過有限次的求和來得到式(2.3)的結果。
由上面的論述，我們知道，我們需要同時在多個維度上進行卷積操作。例如，如果我們使用二維影象I作為輸入，那麼我們也希望使用二維的kernel K進行卷積操作(類比之前的場景，這個時候，你可以把K理解為，在二維網格中，距離當前節點越近的格點，應該擁有更大的權值)：

s[i,j]=(I∗K)[i,j]=∑m∑nI[m,n]K[i−m,j−n](2.4)
對於卷積操作而言，交換I和K的引數，其值不變（關於這一點，其實你看下圖片2.1，相信不會難以理解）,即：
s[i,j]=(I∗K)[i,j]=∑m∑nI[i−m,j−n]K[m,n](2.5)
在CNN中，K的尺寸一般要比I的尺寸小很多。這意味著，如果我們採用公式(2.4)的話，那麼我們需要對大尺寸的I的每一個畫素點遍歷，得到I[m,n],然後再去尋找K[i−m,j−n]，沒有其值的就以0填充。因此這種操作順序，浪費計算。但是，如果我們採用公式(2.5)，那麼我們需要對小尺寸的K的每一個畫素點遍歷，得到K[m,n],然後再去尋找I[i−m,j−n],這個在大尺寸的I中是可以找到的（沒有其值的就以0填充）。因此這種操作順序，比較節約計算資源。所以我們在CNN中使用的是後者。
有趣的是，在很多機器學習庫中，它們往往把上面公式的kernel進行“翻轉”，得到下面的樣子：
s[i,j]=(I∗K)[i,j]=∑m∑nI[i+m<