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推薦演算法——基於矩陣分解的推薦演算法

阿新 • • 發佈：2019-02-09

一、推薦演算法概述

對於推薦系統(Recommend System, RS)，從廣義上的理解為：為使用者(User)推薦相關的商品(Items)。常用的推薦演算法主要有：

  • 基於內容的推薦(Content-Based Recommendation)
  • 協同過濾的推薦(Collaborative Filtering Recommendation)
  • 基於關聯規則的推薦(Association Rule-Based Recommendation)
  • 基於效用的推薦(Utility-Based Recommendation)
  • 基於知識的推薦(Knowledge-Based Recommendation)
  • 組合推薦(Hybrid Recommendation)

在推薦系統中，最重要的資料是使用者對商品的打分資料，資料形式如下所示：

這裡寫圖片描述

其中，U1⋯U5表示的是5個不同的使用者，D1⋯D4表示的是4個不同的商品，這樣便構成了使用者-商品矩陣，在該矩陣中，有使用者對每一件商品的打分，其中“-”表示的是使用者未對該商品進行打分。

在推薦系統中有一類問題是對未打分的商品進行評分的預測。

二、基於矩陣分解的推薦演算法

2.1、矩陣分解的一般形式

矩陣分解是指將一個矩陣分解成兩個或者多個矩陣的乘積。對於上述的使用者-商品矩陣(評分矩陣)，記為Rm×n。可以將其分解成兩個或者多個矩陣的乘積，假設分解成兩個矩陣P

m×k和Qk×n，我們要使得矩陣Pm×k和Qk×n的乘積能夠還原原始的矩陣Rm×n：

Rm×n≈Pm×k×Qk×n=R^m×n

其中，矩陣Pm×k表示的是m個使用者與k個主題之間的關係，而矩陣Qk×n表示的是k個主題與n個商品之間的關係。

2.2、利用矩陣分解進行預測

在上述的矩陣分解的過程中，將原始的評分矩陣Rm×n分解成兩個矩陣Pm×k和Qk×n的乘積：

Rm×n≈Pm×k×Qk×n=R^m×n

那麼接下來的問題是如何求解矩陣Pm×k和Qk×n的每一個元素，可以將這個問題轉化成機器學習中的迴歸問題進行求解。

2.2.1、損失函式

可以使用原始的評分矩陣Rm×

n與重新構建的評分矩陣R^m×n之間的誤差的平方作為損失函式，即：

e2i,j=(ri,j−r^i,j)2=(ri,j−∑k=1Kpi,kqk,j)2

最終，需要求解所有的非“-”項的損失之和的最小值：

minloss=∑ri,j≠−e2i,j

2.2.2、損失函式的求解

對於上述的平方損失函式，可以通過梯度下降法求解，梯度下降法的核心步驟是

  • 求解損失函式的負梯度：
∂∂pi,ke2i,j=−2(ri,j−∑k=1Kpi,kqk,j)qk,j=−2ei,jqk,j ∂∂qk,j

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