前言
最近幾天，學習完了一些最短路徑演算法，由於學習路程艱難曲折，所以寫下了這篇部落格來總結一下
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正文

floyd
首先，提到最短路徑演算法，最好寫的肯定是Floyd演算法,如果圖的點數沒有超過300的話，一般的題目還是能卡過去的
floyd演算法，主要是通過列舉中轉點（其實就是每個點），對全圖都實現鬆弛操作，其實本質還是dp的思路，由於其較為簡單，此處便不再進行的過多的講解
附上程式碼：

void floyd()
{
    for (int k=1; k<=n; k++)
        for (int i=1; i<=n; i++)
            for (int j=1; j<=n; j++)
                dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);//dist[i][j]陣列表示全圖中i,j兩點的距離；鬆弛操作
}
 

floyd其實還可以尋找最小環，只需將dist陣列初始化時改為無窮大，dist[i][i]設為無窮大，當跑完floyd時，
掃一遍，min=min(dist[i][i],min);即可

spfa(Shortest Path Faster Algorithm)
關於spfa———它死了
如果經（shen）常（shou）做（qi）題(hai)的同學會知道，如果是國內的比賽，
80%是會卡掉spfa的~~（畢竟不卡不舒服碼）~~，如NOI2018Day1T1歸程 ，
甚至還有hdu4889專門造資料卡掉spfa，所以對於spfa還是慎用。
spfa演算法其實是Bell-Ford演算法的佇列優化，如果不是特意造資料卡的話，還是挺快的
對於spfa其演算法本質是：
設立一個先進先出的佇列q用來儲存待優化的結點，優化時每次取出隊首結點u，並且用u點當前的最短路徑估計值對離開u點所指向的結點v進行鬆弛操作，如果v點的最短路徑估計值有所調整，且v點不在當前的佇列中，就將v點放入隊尾。這樣不斷從佇列中取出結點來進行鬆弛操作，直至佇列空為止。
下面附上程式碼：

void spfa()
{
     queue<int>q;//佇列
     while(!q.empty())
     q.pop();
     q.push(s);
     vi[s]=1;//已經被訪問過，標記一下
     int sp,t;
     while(!q.empty())
     {
               sp=q.front();
               q.pop();
               vi[sp]=0;
               for(int i=head[sp];i;i=e[i].next)
               {
                       if(dis[e[i].t]>dis[sp]+e[i].w)//類似於Floyd的鬆弛操作
                       {
                                  dis[e[i].t]=dis[sp]+e[i].w;
                                  if(vi[e[i].t]==0)
                                  {
                                            q.push(e[i].t);//入隊，用此節點作為中轉點繼續鬆弛
                                            vi[e[i].t]=1;
                                  }
                       }
               }
     }
}
 

段凡丁論文中的複雜度證明 （O(kE)，k 是小常數）是錯誤的，所以該演算法的最壞複雜度其實是 O(VE)。
但是Spfa並不是一無所用，對於存在負邊權的圖(非三角網格圖)還是挺快的；

Dijkstra
可以這麼來說，Dijktra應該是目前最穩的演算法，對於不用堆優化的時間複雜度為O（n^2）,但是用Dijkstra不用堆優化，
就失去存在的意義了，Dijktra演算法，其實本質上還是一個BFS，他使用BFS解決賦權有向圖或者無向圖的單源最短路徑問題，演算法最終得到一個最短路徑樹。
Dijktra演算法的大致思路：
把源點放入優先佇列（堆）中，然後再把所有其連出去的邊所到的終點，利用這個終點再對與他間接相連的點進行鬆弛，直到優先佇列為空為止，再把所有進隊的點都標為已訪問過，確保不多次進隊（spfa被卡是因為其將很多點多次入隊），但對於存在負邊權的圖，
Dijktra就沒有用武之地了，
下面附上程式碼：

struct Node
{
	int id, d; 
	bool operator < (const Node &b)const//過載運算子
	{
		return d > b.d;
	}
};
void dijkstra(int s)
{
	for (int i=1; i<=n; i++)
		dis[i]=inf,vis[i]=0;
		
	dis[s] = 0;
	priority_queue <Node> q;
	q.push((Node){s, 0});
	while (!q.empty())
	{
		Node now=q.top();
		q.pop();
		if (vis[now.id])
			continue;
		vis[now.id]=1;
		for (int i=0;i<v[now.id].size();i++)
		{
			//now.id---c[now.id][i]--->v[now.id][i]
			if (dis[now.id]+c[now.id][i]<dis[v[now.id][i]])
			{
				dis[v[now.id][i]]=dis[now.id]+c[now.id][i];
				q.push((Node){v[now.id][i],dis[v[now.id][i]]});
			}
		}
	}
}

好了，單源最短路徑就先談到這裡，希望大家多多做題以達到能熟練（7分鐘以內）敲完，見題就秒的熟練程度，
祝大家 noip2018RP++，2019NOI++

不喜勿噴