簡介:

帶權圖分為有向和無向，無向圖的最短路徑又叫做最小生成樹，有prime演算法和kruskal演算法；有向圖的最短路徑演算法有dijkstra演算法和floyd演算法。

　　生成樹的概念：聯通圖G的一個子圖如果是一棵包含G的所有頂點的樹，則該子圖稱為G的生成樹 生成樹是聯通圖的極小連通子圖。所謂極小是指：若在樹中任意增加一條邊，則 將出現一個迴路；若去掉一條邊，將會使之程式設計非連通圖。生成樹各邊的權 值總和稱為生成素的權。權最小的生成樹稱為最小生成樹，常用的演算法有prime演算法和kruskal演算法。

　　最短路徑問題旨在尋找圖中兩節點之間的最短路徑，常用的演算法有：floyd演算法和dijkstra演算法。

　　構造最小生成樹一般使用貪心策略，有prime演算法和kruskal演算法

最小生成樹問題:

prime演算法

基本思想

1.清空生成樹，任取一個頂點加入生成樹

2.在那些一個端點在生成樹裡，另一個端點不在生成樹裡的邊中，選取一條權最小的邊，將它和另一個端點加進生成樹

3.重複步驟2，直到所有的頂點都進入了生成樹為止，此時的生成樹就是最小生成樹

prime演算法程式碼:

int prime(int cur)
{
    int index;
    int sum = 0;
    memset(visit, false, sizeof(visit));
    visit[cur] = true;
    for(int i = 0; i < m; i ++){
        dist[i] = graph[cur][i];    
    }
    
    for(int i = 1; i < m; i ++){
        
        int mincost = INF;
        for(int j = 0; j < m; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] < mincost){
                mincost = dist[j];
                index = j;    
            }    
        }
        
        visit[index] = true;
        sum += mincost;
        
        for(int j = 0; j < m; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] > graph[index][j]){
                dist[j] = graph[index][j];
            }    
        }    
    } 
    return sum;    
}
 

kruskal演算法

構造一個只含n個頂點，而邊集為空的子圖，若將該子圖中各個頂點看成是各棵樹的根節點，則它是一個含有n棵樹的森林 。之後，從網的邊集中選取一條權值最小的邊，若該邊的兩個頂點分屬不同的樹 ，則將其加入子圖，也就是這兩個頂點分別所在的 兩棵樹合成一棵樹；反之，若該邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應該取下一條權值最小的邊再試之。依次類推，直至森林只有一棵樹。kruskal演算法能夠在並查集的基礎很快的實現。結合例子來介紹具體演算法實現（其中並查集的部分可以詳見並查集介紹部分） 

例題AC程式碼:

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int size = 128; 
int n;
int father[size];
int rank[size];

//把每條邊成為一個結構體，包括起點、終點和權值 
typedef struct node
{
    int val;
    int start;
    int end;    
}edge[SIZE * SIZE / 2];

//把每個元素初始化為一個集合 
void make_set()
{
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        father[i] = i;
        rank[i] = 1;    
    }    
    return ;
}

//查詢一個元素所在的集合,即找到祖先 
int find_set(int x)
{
    if(x != father[x]){
        father[x] = find_set(father[x]);    
    }    
    return father[x];
}

//合併x,y所在的兩個集合：利用Find_Set找到其中兩個
//集合的祖先，將一個集合的祖先指向另一個集合的祖先。
void Union(int x, int y)
{
    x = find_set(x);    
    y = find_set(y);
    if(x == y){
        return ;    
    }
    if(rank[x] < rank[y]){
        father[x] = find_set(y);    
    }
    else{
        if(rank[x] == rank[y]){
            rank[x] ++;    
        }    
        father[y] = find_set(x);
    }
    return ;
}

bool cmp(pnode a, pnode b)
{
    return a.val < b.val;    
}

int kruskal(int n) //n為邊的數量 
{
    int sum = 0;
    make_set();
    for(int i = 0; i < n; i ++){   //從權最小的邊開始加進圖中 
        if(find_set(edge[i].start) != find_set(edge[i].end)){
            Union(edge[i].start, edge[i].end);
            sum += edge[i].val;    
        }    
    }
    return sum;    
}

int main()
{
    while(1){
        scanf("%d", &n);    
        if(n == 0){
            break;    
        }
        char x, y;
        int m, weight;
        int cnt = 0;
        for(int i = 0; i < n - 1; i ++){
            cin >> x >> m; 
            //scanf("%c %d", &x, &m);    
            //printf("%c %d ", x, m);
            for(int j = 0; j < m; j ++){
                cin >> y >> weight; 
                //scanf("%c %d", &y, &weight);
                //printf("%c %d ", y, weight);    
                edge[cnt].start = x - 'A';
                edge[cnt].end = y - 'A';
                edge[cnt].val = weight;
                cnt ++;
            }
        }
        
        sort(edge, edge + cnt, cmp); //對邊按權從小到大排序 
        cout << kruskal(cnt) << endl; 
    }    
}
 

最短路徑問題

最短路徑問題旨在尋找圖中兩節點之間的最短路徑，常用的演算法有：floyd演算法和dijkstra演算法。

floyd演算法

最簡單的最短路徑演算法，可以計算圖中任意兩點間的最短路徑  folyd演算法的時間複雜度是O(N3),如果是一個沒有邊權的圖，把相連的兩點  間的距離設為dist[i][j] = 1，不相連的兩點設為無窮大，用 floyd演算法可以判斷i,j兩點是否有路徑相連。

核心程式碼:

void floyd()
{
    for(int k = 0; k < n; k ++){ //作為迴圈中間點的k必須放在最外一層迴圈 
        for(int i = 0; i < n; i ++){
            for(int j = 0; j < n; j ++){
                if(dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]){
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];    //dist[i][j]得出的是i到j的最短路徑 
                }     
            }    
        }    
    }    
}

dijkstra演算法

核心程式碼:

void dijkstra(int s)   //s是起點
{
    memset(visit, false, sizeof(visit));    
visit[s] = true;
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        dist[i] = graph[s][i];
    }
     
    int index;
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        int mincost = INF;
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] < mincost){
                mincost = dist[j];
                index = j;    
            }    
        }
        visit[index] = true;
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] > dist[index] + graph[index][j]){
                dist[j] = dist[index] + graph[index][j];
            }    
        }    
    }
}