最小生成樹-Prim算法與Kruskal算法
一、最小生成樹(MST)
①、生成樹的代價：設G=（V，E）是一個無向連通網，生成樹上各邊的權值之和稱為該生成樹的代價。
②、最小生成樹：在圖G所有生成樹中，代價最小的生成樹稱為最小生成樹。
最小生成樹的概念可以應用到許多實際問題中。 例：在n個城市之間建造通信網絡，至少要架設n-1條通信線路，而每兩個城市之間架設通信線路的造價是不一樣的，那麽如何設計才能使得總造價最小？
③、MST性質：假設G=(V, E)是一個無向連通網，U是頂點集V的一個非空子集。若(u, v)是一條具有最小權值的邊，其中u∈U，v∈V－U，則必存在一棵包含邊(u, v)的最小生成樹。
二、Prim算法
①基本思想：設G=(V, E)是具有n個頂點的連通網，T=(U, TE)是G的最小生成樹， T的初始狀態為U={u0}（u0∈V），TE={ }，重復執行下述操作：在所有u∈U，v∈V-U的邊中找一條代價最小的邊(u, v)並入集合TE，同時v並入U，直至U=V。
關鍵:是如何找到連接U和V-U的最短邊，利用MST性質，可以用下述方法構造候選最短邊集：對應V-U中的每個頂點，保留從該頂點到U中的各頂點的最短邊。
②數據結構設計
數組lowcost[n]：用來保存集合V-U中各頂點與集合U中頂點最短邊的權值，lowcost[v]=0表示頂點v已加入最小生成樹中；
數組adjvex[n]：用來保存依附於該邊（集合V-U中各頂點與集合U中頂點的最短邊）在集合U中的頂點。
如何用數組lowcost和adjvex表示候選最短邊集？
lowcost[i]=w；表示頂點vi和頂點vk之間的權值為w，
adjvex[i]=k；其中：vi∈ V-U 且vk ∈U。
③Prim算法——偽代碼
1. 初始化兩個輔助數組lowcost和adjvex； 2. 輸出頂點u0，將頂點u0加入集合U中； 3. 重復執行下列操作n-1次 3.1 在lowcost中選取最短邊，取adjvex中對應的頂點序號k； 3.2 輸出頂點k和對應的權值； 3.3 將頂點k加入集合U中； 3.4 調整數組lowcost和adjvex；
④C++實現
1#include<iostream> 2 #include<fstream> 3 using namespace std; 4 5 #define MAX 100 6 #define MAXCOST 0x7fffffff 7 8 int graph[MAX][MAX]; 9 10 /*方法二*/ 11 struct Node 12 { 13 int lowcost;// 權值 14 int adjvex;// 候選最短邊的鄰接點 15 }; 16 Node shortEdge[MAX];// 候選最短邊集合 17 void prim2(int graph[][MAX], int n) 18 { 19 // 初始化輔助數組shortEdge,所有點到點1的權值 20 for (int i = 2; i <= n; i++) 21 { 22 shortEdge[i].lowcost = graph[1][i]; 23 shortEdge[i].adjvex = 1; 24 } 25 shortEdge[1].lowcost = 0;// 將頂點1加入集合U 26 for (int i = 2; i <= n; i++) 27 { 28 // 尋找最短邊的鄰接點k 29 int k = 0, min = MAXCOST; 30 for (int j = 2; j <= n; j++) 31 { 32 if (min >shortEdge[j].lowcost&&shortEdge[j].lowcost!=0) 33 { 34 min = shortEdge[j].lowcost; 35 k = j; 36 } 37 } 38 cout << "(" << k << shortEdge[k].adjvex << ")" << shortEdge[k].lowcost; 39 shortEdge[k].lowcost = 0;// 將頂點k加入結合U中 40 for (int j = 2; j <= n; j++) 41 { 42 if (graph[k][j] < shortEdge[j].lowcost) 43 { 44 shortEdge[j].lowcost = graph[k][j]; 45 shortEdge[j].adjvex = k; 46 } 47 } 48 } 49 } 50 51 int main() 52 { 53 int i, j, k, m, n; 54 int x, y, cost; 55 ifstream in("input.txt"); 56 in >> m >> n;//m=頂點的個數，n=邊的個數 57 //初始化圖G 58 for (i = 1; i <= m; i++) 59 { 60 for (j = 1; j <= m; j++) 61 { 62 graph[i][j] = MAXCOST; 63 } 64 } 65 //構建圖G 66 for (k = 1; k <= n; k++) 67 { 68 in >> i >> j >> cost; 69 graph[i][j] = cost; 70 graph[j][i] = cost; 71 } 72 prim2(graph, m); 73 system("pause"); 74 return 0; 75 }
三、Kruskal算法
①基本思想：設無向連通網為G＝(V, E)，令G的最小生成樹為T＝(U, TE)，其初態為U＝V，TE＝{ }，然後，按照邊的權值由小到大的順序，考察G的邊集E中的各條邊。若被考察的邊的兩個頂點屬於T的兩個不同的連通分量，則將此邊作為最小生成樹的邊加入到T中，同時把兩個連通分量連接為一個連通分量；若被考察邊的兩個頂點屬於同一個連通分量，則舍去此邊，以免造成回路，如此下去，當T中的連通分量個數為1時，此連通分量便為G的一棵最小生成樹。
②數據結構設計：因為Kruskal算法是依次對圖中的邊進行操作，因此考慮用邊集數組存儲圖中的邊，為了提高查找最短邊的速度，可以先對邊集數組按邊上的權值排序。
1 struct EdgeType 2 { 3 int from, to;// 邊依附的兩個頂點 4 int weight;// 邊的權值 5 }; 6 7 template<class T> 8 struct EdgeGraph 9 { 10 T vertex[Maxvertex];// 存放頂點信息 11 vector<EdgeType> edge;// 存放邊的數組(用vector便於排序) 12 int vertexNum, edgeNum;//頂點數和邊數 13 };
③Kruskal算法——偽代碼
1. 初始化：U=V； TE={ }； 2. 循環直到T中的連通分量個數為1 2.1 在E中尋找最短邊(u，v); 2.2 如果頂點u、v位於T的兩個不同連通分量，則 2.2.1 將邊(u，v)並入TE； 2.2.2 將這兩個連通分量合為一個； 2.3 在E中標記邊(u，v)，使得(u，v)不參加後續最短邊的選取；
④C++實現
#include<iostream> #include<fstream> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std; const int Maxvertex = 10;// 最多頂點數 const int MaxEdge = 100;// 最多邊數 struct EdgeType { int from, to;// 邊依附的兩個頂點 int weight;// 邊的權值 }; template<class T> struct EdgeGraph { T vertex[Maxvertex];// 存放頂點信息 vector<EdgeType> edge;// 存放邊的數組(用vector便於排序) int vertexNum, edgeNum;//頂點數和邊數 }; int FindRoot(int parent[], int v)// 求頂點的雙親結點 { int t = v; while(parent[t]> -1) t = parent[t]; return t; } void Kruskal(EdgeGraph<int> G) { int parent[Maxvertex]; for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) parent[i] = -1;// 表示頂點i沒有雙親結點 for (int num = 0, i = 0; i < G.edgeNum; i++) { int vex1 = FindRoot(parent, G.edge[i].from); int vex2 = FindRoot(parent, G.edge[i].to); if (vex1 != vex2) { cout << "(" << G.edge[i].from << G.edge[i].to << ")" << endl; parent[vex2] = vex1;// 合並生成樹 num++; if (num == G.vertexNum - 1) return; } } } bool sort_by_weight(EdgeType&k1, EdgeType&k2) { return k1.weight < k2.weight; } int main() { EdgeGraph<int> Edgraph;// 存放圖的信息 ifstream in("input.txt"); in >> Edgraph.vertexNum >> Edgraph.edgeNum; //構建圖G for (int k = 0; k <Edgraph.edgeNum; k++) { EdgeType temp; in >> temp.from >> temp.to >> temp.weight; Edgraph.edge.push_back(temp); } // 將邊按照權值排序 sort(Edgraph.edge.begin(), Edgraph.edge.end(), sort_by_weight); Kruskal(Edgraph); system("pause"); return 0; }
input.txt 6 10 1 2 6 1 3 1 1 4 5 2 3 5 2 5 3 3 4 5 3 5 6 3 6 4 4 6 2 5 6 6
最小生成樹-Prim算法與Kruskal算法