Prim算法

1.概覽

普裏姆算法 （Prim 算法），圖論中的一種算法，可在加權連通圖裏搜索最小生成樹。意即由此算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裏的所有頂點 （英語 ： Vertex (graph theory) ） ，且其所有邊的權值之和亦為最小。該算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克 （英語 ： Vojtěch Jarník ） 發現；並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普裏姆 （英語 ： Robert C. Prim ） 獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該算法。因此，在某些場合，普裏姆算法又被稱為DJP算法、亞爾尼克算法或普裏姆－亞爾尼克算法。

2.算法簡單描述

1).輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為V，邊集合為E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x為集合V中的任一節點（起始點），E_new = {},為空；

3).重復下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u為集合V_new 中的元素，而v不在V_new 集合當中，並且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；

b.將v加入集合V_new 中，將<u, v>邊加入集合E_new 中；

4).輸出：使用集合V_new 和E_new 來描述所得到的最小生成樹。

下面對算法的圖例描述

圖例	說明	不可選	可選	已選（Vnew ）
	此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。	-	-	-
	頂點D 被任意選為起始點。頂點A 、B 、E 和F 通過單條邊與D 相連。A 是距離D 最近的頂點，因此將A 及對應邊AD 以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一個頂點為距離D 或A 最近的頂點。B 距D 為9，距A 為7，E 為15，F 為6。因此，F 距D 或A 最近，因此將頂點F 與相應邊DF 以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法繼續重復上面的步驟。距離A 為7的頂點B 被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在當前情況下，可以在C 、E 與G 間進行選擇。C 距B 為8，E 距B 為7，G 距F 為11。E 最近，因此將頂點E 與相應邊BE 高亮表示。	無	C, E, G	A, D, F, B
	這裏，可供選擇的頂點只有C 和G 。C 距E 為5，G 距E 為9，故選取C ，並與邊EC 一同高亮表示。	無	C, G	A, D, F, B, E
	頂點G 是唯一剩下的頂點，它距F 為11，距E 為9，E 最近，故高亮表示G 及相應邊EG 。	無	G	A, D, F, B, E, C
	現在，所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即為連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和為39。	無	無	A, D, F, B, E, C, G

3.簡單證明prim算法

反證法：假設prim生成的不是最小生成樹

1).設prim生成的樹為G₀

2).假設存在G_min 使得cost(G_min )<cost(G₀ ) 則在G_min 中存在<u,v>不屬於G₀

3).將<u,v>加入G₀ 中可得一個環，且<u,v>不是該環的最長邊(這是因為<u,v>∈G_min )

4).這與prim每次生成最短邊矛盾

5).故假設不成立，命題得證.

5.時間復雜度

這裏記頂點數v，邊數e

鄰接矩陣:O(v² ) 鄰接表:O(elog₂ v)

Kruskal算法

1.概覽

Kruskal算法 是一種用來尋找最小生成樹的算法，由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決同樣問題的還有Prim算法和Boruvka算法等。三種算法都是貪婪算法的應用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。

2.算法簡單描述

1).記Graph中有v個頂點，e個邊

2).新建圖Graph_new ，Graph_new 中擁有原圖中相同的e個頂點，但沒有邊

3).將原圖Graph中所有e個邊按權值從小到大排序

4).循環：從權值最小的邊開始遍歷每條邊 直至圖Graph中所有的節點都在同一個連通分量中

if 這條邊連接的兩個節點於圖Graph_new 中不在同一個連通分量中

添加這條邊到圖Graph_new 中

圖例描述：

首先第一步，我們有一張圖Graph，有若幹點和邊

將所有的邊的長度排序，用排序的結果作為我們選擇邊的依據。這裏再次體現了貪心算法的思想。資源排序，對局部最優的資源進行選擇，排序完成後，我們率先選擇了邊AD。這樣我們的圖就變成了右圖

在剩下的變中尋找。我們找到了CE。這裏邊的權重也是5

依次類推我們找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面繼續選擇， BC或者EF盡管現在長度為8的邊是最小的未選擇的邊。但是現在他們已經連通了（對於BC可以通過CE,EB來連接，類似的EF可以通過EB,BA,AD,DF來接連）。所以不需要選擇他們。類似的BD也已經連通了（這裏上圖的連通線用紅色表示了）。

3.簡單證明Kruskal算法

對圖的頂點數n做歸納，證明Kruskal算法對任意n階圖適用。

歸納基礎：

n=1，顯然能夠找到最小生成樹。

歸納過程：

假設Kruskal算法對n≤k階圖適用，那麽，在k+1階圖G中，我們把最短邊的兩個端點a和b做一個合並操作，即把u與v合為一個點v‘，把原來接在u和v的邊都接到v‘上去，這樣就能夠得到一個k階圖G‘(u,v的合並是k+1少一條邊)，G‘最小生成樹T‘可以用Kruskal算法得到。

我們證明T‘+{<u,v>}是G的最小生成樹。

用反證法，如果T‘+{<u,v>}不是最小生成樹，最小生成樹是T，即W(T)<W(T‘+{<u,v>}) 。顯然T應該包含<u,v>，否則，可以用<u,v>加入到T中，形成一個環，刪除環上原有的任意一條邊，形成一棵更小權值的生成樹。而T-{<u,v>}，是G‘的生成樹。所以W(T-{<u,v>})<=W(T‘) ，也就是W(T)<=W(T‘)+W(<u,v>)=W(T‘+{<u,v>})， 產生了矛盾。於是假設不成立，T‘+{<u,v>}是G的最小生成樹，Kruskal算法對k+1階圖也適用。

由數學歸納法，Kruskal算法得證。

時間復雜度：elog₂ e e為圖中的邊數。

最小生成樹-Prim算法和Kruskal算法