因此很多程式設計師對這道題的遞迴解法非常熟悉，但....呵呵，你知道的。。

1. //////////////////////////////////////////////////////////////////////  
2. // Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively  
3. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
4. long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)  
5. {  
6.       int result[2] = {0, 1};  
7.       if(n < 2)  
8.             return result[n];  
9.       return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);  
10. }  

1. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
2. // Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively  
3. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
4. long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)  
5. {  
6.       int result[2] = {0, 1};  
7.       if(n < 2)  
8.             return result[n];  
9.       long long   fibNMinusOne = 1;  
10.       long long   fibNMinusTwo = 0;  
11.       long long   fibN = 0;  
12.       for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)  
13.        {  
14.              fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;  
15.              fibNMinusTwo = fibNMinusOne;  
16.              fibNMinusOne = fibN;  
17.        }  
18.       return fibN;  
19. }  
20. 這還不是最快的方法。下面介紹一種時間複雜度是O(logn)的方法。在介紹這種方法之前，先介紹一個數學公式： 
    {f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1 
    (注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一個矩陣。在矩陣中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。) 
    有了這個公式，要求得f(n)，我們只需要求得矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方，因為矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方的結果的第一行第一列就是f(n)。這個數學公式用數學歸納法不難證明。感興趣的朋友不妨自己證明一下。 
    現在的問題轉換為求矩陣{1, 1, 1, 0}的乘方。如果簡單第從0開始迴圈，n次方將需要n次運算，並不比前面的方法要快。但我們可以考慮乘方的如下性質： 
             /   an/2*an/2                       n為偶數時 
    an= 
             \   a(n-1)/2*a(n-1)/2             n為奇數時 
    要求得n次方，我們先求得n/2次方，再把n/2的結果平方一下。如果把求n次方的問題看成一個大問題，把求n/2看成一個較小的問題。這種把大問題分解成一個或多個小問題的思路我們稱之為分治法。這樣求n次方就只需要logn次運算了。 
    實現這種方式時，首先需要定義一個2×2的矩陣，並且定義好矩陣的乘法以及乘方運算。當這些運算定義好了之後，剩下的事情就變得非常簡單。完整的實現程式碼如下所示。 
    
21. 1. #include <cassert>  
    2. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
    3. // A 2 by 2 matrix  
    4. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
    5. struct Matrix2By2  
    6. {  
    7.        Matrix2By2  
    8.        (  
    9.             long long m00 = 0,   
    10.             long long m01 = 0,   
    11.             long long m10 = 0,   
    12.             long long m11 = 0  
    13.        )  
    14.        :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)   
    15.        {  
    16.        }  
    17.       long long m_00;  
    18.       long long m_01;  
    19.       long long m_10;  
    20.       long long m_11;  
    21. };  
    22. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
    23. // Multiply two matrices  
    24. // Input: matrix1 - the first matrix  
    25. //         matrix2 - the second matrix  
    26. //Output: the production of two matrices  
    27. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
    28. Matrix2By2 MatrixMultiply  
    29. (  
    30.       const Matrix2By2& matrix1,   
    31.       const Matrix2By2& matrix2  
    32. )  
    33. {  
    34.       return Matrix2By2(  
    35.              matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,  
    36.              matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,  
    37.              matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,  
    38.              matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);  
    39. }  
    40. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
    41. // The nth power of matrix   
    42. // 1   1  
    43. // 1   0  
    44. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
    45. Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)  
    46. {  
    47.        assert(n > 0);  
    48.        Matrix2By2 matrix;  
    49.       if(n == 1)  
    50.        {  
    51.              matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);  
    52.        }  
    53.       else if(n % 2 == 0)  
    54.        {  
    55.              matrix = MatrixPower(n / 2);  
    56.              matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);  
    57.        }  
    58.       else if(n % 2 == 1)  
    59.        {  
    60.              matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);  
    61.              matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);  
    62.              matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));  
    63.        }  
    64.       return matrix;  
    65. }  
    66. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
    67. // Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer  
    68. ///////////////////////////////////////////////////////////////////////  
    69. long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)  
    70. {  
    71.       int result[2] = {0, 1};  
    72.       if(n < 2)  
    73.             return result[n];  
    74.        Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);  
    75.       return PowerNMinus2.m_00;  
    76. }