離散正(餘)弦訊號的時域與FFT變換後所得頻域之間的關係

作者：jbb0523(彬彬有禮)

        正弦訊號在訊號處理中是很常見的，比如通訊領域的載波。由於正弦與餘弦只是相差π/2的初相，因此這裡統稱正弦訊號。給出連續正弦訊號的表示式：

式中，A為振幅，Ω為模擬角頻率(rad/s)，φ為初相，f為模擬頻率(Hz)，Ω=2πf 。

在滿足奈奎斯特取樣定理條件下對訊號x(t)進行取樣得到離散正弦訊號x(n)

式中，f_s為取樣頻率，T_s為取樣間隔，T_s=1/f_s，ω為數字角頻率(rad)，ω=2πf/f_s。

根據ω可以判斷x(n)的週期性，若2π/ω為有理數則x(n)為週期訊號，週期為有理數的分母，詳情可參考數字訊號處理類教科書。

對N點長的x(n)進行FFT可得其N點長的離散傅立葉變換(DFT)，記為X(k)。注意，FFT只是DFT的快速演算法的總稱。由於x(n)是實訊號，所以X(k)為對稱的，只須關注其前N/2點即可。

今天要討論的問題來自一篇文件《為什麼要進行傅立葉變換》，這是一篇網上很熱門文章，原文出處不詳，給出參考連結：網易部落格，百度文庫，豆瓣。

在原文第七部分“七、用Matlab實現快速傅立葉變換”中有一段話是這樣子寫的：

假設FFT之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的訊號的表示式為：

對於任意一項X(k)(0<k<N/2)，它所對應的時域訊號表示式為

其中。若k=0，即直流分量，其幅度為|X(k)|/N。

有關模擬頻率f與離散頻率k的關係可參見數字訊號處理類教科書，下面對時域訊號幅度相角與離散頻域的幅值相角的關係結論進證明。

為了避免頻譜洩漏，取f

對離散正弦訊號x(n)進行DFT變換：

上面推導過程中使用了尤拉公式和三角函式積化和差公式。令

則  。

當mf+k≠0時，根據離散正弦訊號的週期性判斷方法，我們知道X_Re1(k)和X_Im1(k)求和式中的正弦訊號一定是以N為週期的，所以從0到N－1求和必為零；同理，當mf－k≠0時，X_Re2(k)和X_Im2(k)求和式中的正弦訊號一定是以N為週期的，所以從0到N－1求和也必為零。若要使mf+k項為零，則必有f=k=0，若要使mf－k項為零，則要滿足mf=k。

下面以文件《為什麼要進行傅立葉變換》中的例子為例來說明：

S=2+3*cos(2*pi*50*t－pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos引數為弧度，所以－30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的取樣率對這個訊號進行取樣，總共取樣256點。

可以通過週期性討論得知，若k≠50，則必有X(k)=0（當然k=256－50時與k=50對稱，前面我們說了只討論前N/2=128個點）。當k=50時

因此可得時域幅值相角與頻域模擬相角的關係

這裡模擬頻率f與離散頻率k的關係為

同理可以討論f=75Hz成份。對於直流成份，可以認為是如下正弦訊號

即f=0Hz，φ=0，代入得

可以通過週期性討論得知，若k≠0，則必有X(k)=0；當k=0時

其實對於直流成分沒有必要這麼複雜，直流成分就是一個常數，對常數序列A做DFT

若k≠0，求和項復正弦序列以N為週期，求和後必為零；若k=0，求和通項等於1，則

推導了半天，可能有些糊塗，最後再把結論清晰的給出來，以便查閱：

【結論1】若有離散正弦訊號

對x(n)做N點FFT得X(k)，則在0<k<N/2範圍內僅在k=f/(f_s/N)處有值，若設此值為X=a+jb，則此值與離散正弦訊號有如下關係

其中

結論中，為保證k=f/(f_s/N)為整數（即不發生頻譜洩漏，要求f，f_s，N均為正整數，且N=mf_s，m為正整數，即N為整數倍的f_s）

【結論2】若有直流訊號x(n)=A，對x(n)做N點FFT得X(k)，則僅在k=0處有值，且此值X=AN，也可以寫為A=X/N。