1 同餘定理定義

如果兩個整數a和b，(a-b)能被m整除，則a和b被m除的餘數相同，記做

如果有，則

2 同餘定理證明

充分性：

假定（其中r1和r1小於m，h1和h2為整數）

a = h1*m+r1

b = h2*m+r2

則a-b = (h1-h2)*m + (r1-r2)

因為，則r1-r2=0，即r1=r2，得證

必要性：

整數a，b，被整數m除的餘數相同，其中h1和h2為整數，r為餘數，則有

a=h1*m+r

b=h2*m+r

(a-b)=h1*m+r-h2*m-r=(h1-h2)*m

因為h1和h2為整數，（h1-h2）為整數；所以，a-b能被m整除，得證。
 

3 同餘定理性質（只列與證費馬小定理相關的）

3.1 乘法定理

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，則ax≡by(mod m)。
    證明：條件告訴我們，a-mp = b-mq，x-mr = y-ms。於是(a-mp)(x-mr) = (b-mq)(y-ms)，等式兩邊分別展開後必然是ax-m(…) = by-m(…)的形式，這就說明ax≡by(mod m)。

    現在你知道為什麼有的題要叫你“輸出答案mod xxxxx的結果”了吧，那是為了避免高精度運算，因為這裡的結論告訴我們在運算過程中邊算邊mod和算完後再mod的結果一樣。假如a是一個很大的數，令b=a mod m，那麼(a * 100) mod m和(b * 100) mod m的結果是完全一樣的，這相當於是在a≡b (mod m)的兩邊同時乘以100。這些結論其實都很顯然，因為同餘運算只關心餘數（不關心“整的部分”），完全可以每一次運算後都只保留餘數。因此，整個運算過程中參與運算的數都不超過m，避免了高精度的出現。

3.2 除法定理

如果ac≡bc(mod m)，且c和m互質，則a≡b(mod m) （就是說同餘式兩邊可以同時除以一個和模數互質的數）。
    證明：條件告訴我們，ac-mp = bc-mq，移項可得ac-bc = mp-mq，也就是說(a-b)c = m(p-q)。這表明，(a-b)c裡需要含有因子m，但c和m互質，因此只有可能是a-b被m整除，也即a≡b(mod m)。

4 費馬小定理

費馬小定理： 假如p是質數，且gcd(a,p)=1，即a,p互質，那麼 。

證明：

給出數列:

我們假定數列中的兩項ma和na被p除後的餘數相同，即ma ≡ na(mod p)，根據同餘定理：

ma-na=(m-n)a能被p整除，即

(m-n)a|p

因為a與p互質，所以只能（m-n)是p的倍數（m-n不等於0，因為前提假設是不同的兩項）。但是m，n屬於數列{1,2,3,4......p-1},所以m-n不可能是p的倍數，則假設ma ≡ na(mod p)不成立，也就是數列中任意兩項被p除的餘數都不可能相等。

而任意整數被p除的餘數只能是{1,2,3,4......p-1}，總共p-1項。

數列總共有p-1項，所以數列中的數被p除的餘數是{1,2,3,4......p-1}

根據上面提到同餘的乘法定理有:

簡化得：

根據上面提到同餘的除法性質有（顯然有p-1階乘中的每一項都與p互質）：

參考：