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題目描述

Given a binary tree, find the maximum path sum.
給出一棵二叉樹，計算其最大路徑和。

The path may start and end at any node in the tree.
路徑的起止結點必須位於樹內。

For example:
例如：

Given the below binary tree,
給出如下二叉樹，

   1
  / \
 2   3

Return 6.
返回6（sum path 2-1-3）。

解題思路

這個題目還是挺不好想的，我們需要找到問題的關鍵點。那麼對於二叉樹裡的一條子路徑，什麼是關鍵點呢？我們先來做一個假設，假設我們已經找到這個路徑path了，我認為關鍵點就是某一個結點是否處於這個路徑內。但是如何找這個path呢？我們不妨假設，我們正在處理的子樹的根結點root一定位於這個path內，我們計算當path一定經過了root時的最大路徑和max(root)。那麼max(root)該如何計算呢？我們假設我們已經求除了當path一定經過root->left時的最大路徑和max(root->left)，也求除了當path一定經過root->right時的最大路徑和max(root->right)，這時候，如果max(root->left)>0，那麼對於root而言，將root->left和root連線起來的path的和一定比root自己構成的path的和要大；同理，如果max(root->right)>0，那麼對於root而言，將root->left和root連線起來的path的和一定比root自己構成的path的和要大。然而對於一條路徑來說，root要麼跟root->left連線在一起，要麼跟root->right連線在一起，要麼root既不跟root->left也不跟root->right連線在一起，不然路徑會出現分叉。因此我們需要對root->val+max(root->left)、root->val、root->val+max(root->right)求出其中的最大值來作為max(root)的值。

有了如上的步驟之後，我們到底該如何確定二叉樹的最大路徑和呢？實際上，我們上述過程是求得了以某一個結點為根的子樹的最大路徑和，其中路徑的起點為根，終點為子樹中的某一結點，我們注意到這個過程中，我們每次都只是從根的左右子結點中選擇其中的一個來連線到path中，實際上，一個path是有可能既連線root->left，又連線root->right的，但是這種情況至多會出現在其中一個結點x上，否則就會出現路徑的分叉了。因此，我們在求的max(root->left)、max(root->right)之後，嘗試將root作為我們上面提到的x點，然後來計算由max(root->left)、max(root->right)、root->val可能構成的最大和tmp，然後判定tmp和當前快取好的max（最大路徑和），並更新max值即可。最後，這個max就是我們要求的最大路徑和。

演算法

1. 如果root為NULL，返回0
2. 遞迴呼叫1-5，求得maxSum(root->left)和maxSum(root->right)
3. maxSum(root) = max(root->val, root->val + maxSum(root->left), root->val + maxSum(root->right))
4. 判定root->val 、 maxSum(root->left)、maxSum(root->right)三者可能構成的最大和（必須包含root->val），是否大於目前快取的最大路徑和tmp，如果是則更新tmp
5. 返回maxSum(root)的值
6. 遞迴呼叫結束後，tmp的值就是最大路徑和

程式碼c

/**
 * 計算二叉樹的最大路徑和
 * @param : root 二叉樹根結點
 * @return : 最大路徑和
 */
int maxPathSum(struct TreeNode *root) {
    int maxChildPathSum(struct TreeNode *, int *);
    if (root == NULL) return 0;
    int tmpMax = root->val;

    maxChildPathSum(root, &tmpMax);
    return tmpMax;
}

/**
 * 計算二叉樹子樹的最大路徑和以及整棵二叉樹的最大路徑和
 * 子樹路徑必須以根結點開始，以樹中某一結點結束
 * 二叉樹的最大路徑和的路徑，不必以根結點為開始結點
 * @param : root 二叉樹根結點
 * @param : tmpMax 暫存整棵二叉樹的最路徑和的變數的地址
 * @return : 子樹的最大路徑和
 */
int maxChildPathSum(struct TreeNode *root, int *tmpMax) {
    int max(int, int);

    if (root == NULL) return 0;

    /* 計算左右子樹的最大路徑和 */
    int leftMax = maxChildPathSum(root->left, tmpMax);
    int rightMax = maxChildPathSum(root->right, tmpMax);

    /* 嘗試更新整棵二叉樹的最大路徑和 */    
    int tmp = root->val;
    if (leftMax > 0) tmp += leftMax;
    if (rightMax > 0) tmp += rightMax;
    if (tmp > *tmpMax) *tmpMax = tmp;


    /* 計算並返回子樹的最大路徑和 */
    int maxRoot = max(root->val, max(root->val + leftMax, root->val + rightMax));
    return maxRoot;
}

/* 求兩個數中較大的數字 */
int max(int arg1, int arg2) { return arg1 > arg2 ? arg1 : arg2; }

程式碼cpp

class Solution {
public:
    /**
     * 計算二叉樹的最大路徑和
     * @param : root 二叉樹根結點
     * @return : 最大路徑和
     */
    int maxPathSum(TreeNode *root) {
        if (root == NULL) return 0;
        int tmpMax = root->val;

        maxChildPathSum(root, &tmpMax);
        return tmpMax;
    }

private:
    /**
     * 計算二叉樹子樹的最大路徑和以及整棵二叉樹的最大路徑和
     * 子樹路徑必須以根結點開始，以樹中某一結點結束
     * 二叉樹的最大路徑和的路徑，不必以根結點為開始結點
     * @param : root 二叉樹根結點
     * @param : tmpMax 暫存整棵二叉樹的最路徑和的變數的地址
     * @return : 子樹的最大路徑和
     */  
    int maxChildPathSum(TreeNode *root, int *tmpMax) {
        if (root == NULL) return 0;

        /* 計算左右子樹的最大路徑和 */
        int leftMax = maxChildPathSum(root->left, tmpMax);
        int rightMax = maxChildPathSum(root->right, tmpMax);

        /* 嘗試更新整棵二叉樹的最大路徑和 */    
        int tmp = root->val;
        if (leftMax > 0) tmp += leftMax;
        if (rightMax > 0) tmp += rightMax;
        if (tmp > *tmpMax) *tmpMax = tmp;

        /* 計算並返回子樹的最大路徑和 */
        int maxRoot = max(root->val, max(root->val + leftMax, root->val + rightMax));
        return maxRoot;
    }

    /* 求兩個數中較大的數字 */
    int max(int arg1, int arg2) { return arg1 > arg2 ? arg1 : arg2; }
};

測試資料

輸入：[2,1,3]
輸出： 6

輸入：[5,6,7,-4,null,-1,1,2]
輸出：19

輸入：[5,6,7,-4,null,null,-1,1,2]
輸出：18

輸入：[-5,6,7,-4,null,null,-1,1,2]
輸出：8

輸入：[1,-2,3]
輸出：4

解決情況

2015/7/14