多項式迴歸的matlab實現

阿新 • • 發佈：2019-02-11

一次函式的線性迴歸

首先我們回顧一下當迴歸函式為一次函式的情況

存在訓練樣本矩陣 X ，該矩陣大小為m*n ，其中m為樣本數量，n為特徵數量

此時迴歸方程為

$h_{\theta }\left ( x \right )=\theta _{0}+\theta_{1}x_{1}+..+\theta_{n}x_{n}=X\theta$

其中 $\theta$ 為係數向量

此時代價函式為

$J(\theta)=\frac{1}{2}(X\theta -Y)^{T}(X\theta -Y)$

當代價函式取得最小值時， $\theta$ 為最優解

對 $J(\theta)$ 進行求導得到

$\frac{\partial }{\partial \theta }J(\theta)=X^{T}(X\theta-Y)$

批量梯度下降法

$\theta = \theta-\alpha\frac{\partial }{\partial \theta }J(\theta)$

其中 $\alpha$ 為步長係數， $\alpha\frac{\partial }{\partial \theta }J(\theta)$ 為步長，不斷迭代上式，當步長變化小於某個值時，認為得到代價函式的區域性最小值。

數學上，梯度方向是函式值下降最為劇烈的方向。那麼，沿著 J(θ) 的梯度方向走，我們就能接近其最小值，或者極小值，從而接近更高的預測精度。

多項式的線性迴歸

此時迴歸方程為

$h_{\theta }\left ( x \right )=\theta _{0}+\theta_{1}x_{1}+..+\theta_{n}x_{n} +\theta_{11}x_{11}^{2}+\theta_{12}x_{12}^{2}+..+\theta_{1n}x_{1n}^{2}+...$

代價函式

$J(\theta)=\frac{1}{2}\sum (h_{\theta}(x_{i})-y_{i})^2$

此時我們可以通過遍歷矩陣來計算該代價函式的導數，但是會感覺到程式設計複雜

那麼可以像一次函式一樣去用矩陣表示代價函式嗎？

是可以的，我們只需要將 $x^n$ 視作一個整體就可以了

在一次迴歸中，樣本矩陣 X為 [1,X] 其中 1 表示該列都為1

在多項式迴歸中，我們可以將 X 擴充套件為 [1,X,X^2,X^3,...,X^n]

此時我們回到了一次迴歸的矩陣運算中

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