對極幾何的基本概念中是對對極幾何的基本形式進行了描述，但並沒有從數學角度對其進行描述，而基本矩陣正是對對極幾何的代數描述

1.總述

對極幾何描述的就是點x和它的對極線l’之間的關係：l′=Fx，其中，矩陣F稱為基本矩陣

下面，分別從幾何角度和代數角度對上式進行推導

2.幾何推導

從幾何角度推導關於對極幾何方程，如下圖所示

• 影象點x是空間點X在影象1中的投影點，那麼，有
  x=H1X⇒(1)
• 同理，影象點x’是空間點X在影象1中的投影點，那麼，有
  x′=H2X⇒(2)
• 根據式（1）可以得到
  X=H−11x⇒(3)

• 將式（3）代入式（2）得到
  

  x
  ′=H2H−11x→令H2H−11=HπHπx⇒(4)

• 影象點x對應的基線l’是通過點x’和點e’的直線，那麼，有
  

  l′=e′×x′⇒(5)
  其中的×為叉乘；

• 將式（4）代入式（5）可以得到
  

  l′=e′×Hπx→令e′×Hπ=FFx

結論（來自多視幾何教材）：基本矩陣F可以記為F=[e′]×Hπ，其中，Hπ是從一幅影象到另一幅影象通過任意平面π的轉移對映，而且，因為[e′]×的秩為2，Hπ的秩為3，所以，F的秩為3

3.代數推導

仍舊以下圖為例，假設兩幅影象對應的攝像機矩陣分別為P和P’，光心分別為C和C’

影象點x反投影射線的引數形式為X(λ)=P+x+λC

• λ
  =0時，代表該射線上一個特殊的點P+x
• λ=+∞時，代表該射線上一個特殊的點C

在攝像機2的作用下，這兩個特殊的點分別被投影到影象2中的點x’和e’，即

• x′=P′P+x
• e′=P′C

從而，影象1中的點x的對極線即為

記[P′C]×P′P+=F，則有l′=Fx

4. 對比幾何形式和代數形式的基本矩陣

幾何形式

5. 基本矩陣視覺化

Zisserman的多視幾何教程配套程式碼中，給出了視覺化兩視點基本矩陣的互動介面

• vgg_ui中的vgg_gui_F.m為視覺化基本矩陣的函式
• vgg_examples中view_fund_ex.m為呼叫vgg_gui_F.m的程式碼段

原始影象：

下面是幾幅執行結果：

view_fund_ex.m內容如下

%%使用vgg_gui_F例子%%

% 讀入兩幅教堂影象
im1 = imread('chapel00.png');
im2 = imread('chapel01.png');

% 讀入基本矩陣F的值（好吧，暫時還不知道如何得來）
F = load('chapel.00.01.F');

% 在GUI中可是化基本矩陣, 利用滑鼠點選影象中某點
% 可以在另一幅影象中顯示該點對應的極線
vgg_gui_F(im1, im2, F')

內容如下

function fig=vgg_gui_F(i1,i2,F)
%
%   fig=vgg_gui_F(i1,i2,F)
%
%
% Visualizes the fundamental matrix of two views
%
%IN:
%   i1 - Matlab image
%   i2 - Matlab image
%   F - Fundamental matrix (p1'*F*p2=0). Assumes that image coordiantes
%       are 1..width where pixel centers are at integer locations. 
%
%OUT:
%   fig - handle to the figure

if nargin==3
   action='start';
else
   action=i1;
   ud = get(gcf, 'UserData');
end

if strcmp(action,'start'),
   if nargin ~= 3
      error('Must give 3 arguments... read the docs.\n');
   end

   h0 = figure('Color',[0.8 0.8 0.8], ...
           'NumberTitle','off', ...
           'Name','Play With Fundamental Matrix', ...
           'ButtonDownFcn', 'disp(''Click on images'')',...
           'WindowButtonUpFcn', 'vgg_gui_F(''none'');',...
           'WindowButtonMotionFcn', 'vgg_gui_F(''move'')', ...
           'Pointer', 'crosshair', ...
           'DoubleBuffer', 'on',...
           'Units','normalized');
   [pointerShape, pointerHotSpot] = CreatePointer;
   set(h0, 'Pointer', 'custom', ...
       'PointerShapeCData', pointerShape, ...
       'PointerShapeHotSpot', pointerHotSpot);

   m0=uimenu('Label', '&Color');
   uimenu(m0, 'Label', 'blac&K', 'ForegroundColor', [0 0 0], ...
      'Accelerator', 'k', 'Callback', 'vgg_gui_F(''ck'');');
   uimenu(m0, 'Label', '&Red', 'ForegroundColor', [1 0 0], ...
      'Accelerator', 'r', 'Callback', 'vgg_gui_F(''cr'');');
   uimenu(m0, 'Label', '&Green', 'ForegroundColor', [0 1 0