整數劃分問題是演算法中的一個經典命題之一，有關這個問題的講述在講解到遞迴時基本都將涉及。所謂整數劃分，是指把一個正整數n寫成如下形式：

       n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數，並且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}為n的一個劃分。

       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的一個m劃分。這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);

       例如但n=4時，他有5個劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

       注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同一個劃分。

       該問題是求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;

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                                           （一）遞迴法

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       根據n和m的關係，考慮以下幾種情況： 

       （1）當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種劃分即{1};

        (2)  當m=1時，不論n的值為多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,...,1};

        (3)  當n=m時，根據劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：

              (a). 劃分中包含n的情況，只有一個即{n}；

              (b). 劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。

              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

        (4) 當n<m時，由於劃分中不可能出現負數，因此就相當於f(n,n);

        (5) 但n>m時，根據劃分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況：

               (a). 劃分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和為n-m，可能再次出現m，因此是（n-m）的m劃分，因此這種劃分

                     個數為f(n-m, m);

               (b). 劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數為f(n,m-1);

              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

         綜合以上情況，我們可以看出，上面的結論具有遞迴定義特徵，其中（1）和（2）屬於迴歸條件，（3）和（4）屬於特殊情況，將會轉換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬於遞推的方法，其本質主要是通過減小m以達到迴歸條件，從而解決問題。其遞推表示式如下：

         f(n, m)=       1;                                (n=1 or m=1)

                            f(n, n);                         (n<m)

                            1+ f(n, m-1);                (n=m)

                            f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

[email protected]:~/workdir/ACM-ICPC$ cat IntDivide.c
#include <stdio.h>

int IntDivide(int n, int m)
{
        if((n<1)||(m<1))
                return 0;
        if((n==1)||(m==1))
                return 1;
        if(n<m)
                return IntDivide(n,n);
        if(n==m)
                return IntDivide(n,n-1)+1;
        return IntDivide(n-m,m)+IntDivide(n,m-1);
}

int main()
{
        int n=0,m=0;
        int result=0;

        scanf("%d %d",&n,&m);

        result = IntDivide(n,m);

        printf("%d\n",result);

        return 0;
}