HNOI2008玩具裝箱

n方DP：

f[i]=min{f[i],f[j]+(A[i]-B[j])*(A[i]-B[j])};

轉化為一次函數形式：

f[j]+B[j]*B[j]=2*A[i]*B[j]+f[i]-A[i]*A[i];

所以就是以f[j]+B[j]*B[j]為y，2*A[i]為x的一次函數。

維護一個單調遞增的下凸殼即可。

這個題我們註意到似乎有一個B[j]*B[j]在方程中，好像是個二次函數不能斜率優化。

實則不然，只要i和j的乘積項都是一次的，都可以用斜率優化。

至於到了高次，似乎要用四邊形不等式。。。（還不會誒）

#include<bits/stdc++.h>
#define
 
 RG register
#define IL inline
#define int long long
#define DB double 
using namespace std;

IL int gi() {
    RG int x=0,w=0; char ch=0;
    while (ch<‘0‘||ch>‘9‘) {if (ch==‘-‘) w=1;ch=getchar();}
    while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return
 
 w?-x:x;
}

const int N=5e4+10;

int H,T,q[N];
int n,L,c,sc[N],A[N],B[N],f[N];

IL DB Slope(int x,int y) {
    return 1.0*(f[x]+B[x]*B[x]-f[y]-B[y]*B[y])/(B[x]-B[y]);
}

signed main ()
{
    RG int i;
    n=gi(),L=gi();
    for (i=1,B[0]=L+1;i<=n;++i) {
        c=gi(),sc[i]=sc[i-1]+c;
        A[i]=sc[i]+i,B[i]=sc[i]+i+L+1
 
;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    H=T=1,q[1]=0;
    for (i=1,f[0]=0;i<=n;++i) {
        //for (j=0;j<i;++j)
        //  f[i]=min(f[i],f[j]+(A[i]-B[j])*(A[i]-B[j]));
        //  f[j]+B[j]*B[j]=2*A[i]*B[j]+f[i]-A[i]*A[i];
        while (H<T&&(DB)2*A[i]>=Slope(q[H+1],q[H])) ++H;
        f[i]=f[q[H]]+(A[i]-B[q[H]])*(A[i]-B[q[H]]);
        while (H<T&&Slope(i,q[T])<=Slope(q[T],q[T-1])) --T;
        q[++T]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}

玩具裝箱-斜率優化