題目：

氣泡排序演算法的正確性

解答：

a）還需要證明什麼？

不等式證明了，終止條件也證明了，缺啥？ 證明子陣列是原陣列的一部分，也就是說，A′[i] i=1∼n 可以構成原陣列

b）對第2~4行的for迴圈給出一個準確的迴圈不變式，並證明該迴圈不變式是成立的

b問題就是證明每一趟的排序， 這種證明真是。。。要親命了，證明：

迴圈不變式：每次迭代中，A[j]=min{A[k]:j≤k≤n}，並且子陣列是原陣列的一部分

初始化： 開始時，j=n，A[j..n]中只有 A[n]一個元素，顯然成立

保持： A[j]是A[j..n]中的最小值，那麼，由if判斷語句我們會發現，A

終止： 終止時i=n，j=n，如果排序完成A[j]=min{A[k]:j≤k≤n} 顯然成立，因為A[j..n]中只有A[n]

c） 給出一個迴圈不變式，並且用它來證明 公式2.3（A′[1]≤A′[2]≤A′[3]≤...A′[n]）

迴圈不變式：子陣列A[1..i−1]裡是原始陣列中前i-1個最小資料，並且已經排好順序，並且A

證明：咳咳咳，參見上一問

d）氣泡排序的最壞情況執行時間是什麼？比較它與插入排序的執行時間

解答：最差是 Θ(n2) 這點跟插入排序一樣；實際上氣泡排序的最好情況跟插入排序也一樣，是Θ(n) ，既在已排序序列中，只要一趟操作，做法就是每趟排序加一個判斷，如果沒有交換過就代表已經有序，立刻退出，然而在這道題的虛擬碼中沒有看到這樣的操作，so。。。。最好最差都是 Θ(n2) 。