POJ 2559 最大矩形面積 poj 3494
給定從左到右多個矩形，已知這此矩形的寬度都為1，長度不完全相等。這些矩形相連排成一排，求在這些矩形包括的範圍內能得到的面積最大的矩形，打印出該面積。所求矩形可以橫跨多個矩形，但不能超出原有矩形所確定的範圍。
建立一個單調遞增棧，所有元素各進棧和出棧一次即可。每個元素出棧的時候更新最大的矩形面積。
設棧內的元素為一個二元組（x, y），x表示矩形的高度，y表示矩形的寬度。
若原始矩形高度分別為2,1,4,5,1,3,3
高度為2的元素進棧，當前棧為（2，1）
高度為1的元素準備進棧，但必須從棧頂開始刪除高度大於或等於1的矩形，因為2已經不可能延續到當前矩形。刪除（2，1）這個元素之後，更新最大矩形面積為2*1=2，然後把它的寬度1累加到當前高度為1的準備進棧的矩形，然後進棧，當前棧為（1，2）
高度為4的元素進棧，當前棧為（1，2） （4，1）
高度為5的元素進棧，當前棧為（1，2） （4，1） （5，1）
高度為1的元素準備進棧，刪除（5，1）這個元素，更新最大矩形面積為5*1=5，把1累加到下一個元素，得到（4，2），刪除（4，2），更新最大矩形面積為4*2=8，把2累加到下一個元素，得到（1，4），1*4=4<8，不必更新，刪除（1，4），把4累加到當前準備進棧的元素然後進棧，當前棧為（1，5）
高度為3的元素進棧，當前棧為（1，5） （3，1）
高度為3的元素準備進棧，刪除（3，1），不必更新，把1累加到當前準備進棧的元素然後進棧，當前棧為（1，5） （3，2）
把餘下的元素逐個出棧，（3，2）出棧，不必更新，把2累加到下一個元素，當前棧為（1，7），（1，7）出棧，不必更新。棧空，結束。
最後的答案就是8。
分析：
如果採用列舉的方式，如果當前我們列舉項是 i = 0, 即 height = 2,
我們用另外兩個變數 j 和k 向左和向右兩個方向搜素，找到第一個 小於 height的下標，這樣我們就找到了用 i 項作為高度長方形了。
我們假設 -1位置，和最右高度都是無窮小。
例如：
i = 0, j = -1, k = 1, 最後的面積是 (k - j - 1) * height = 2
i = 1, j = -1, k = 7, 最後面積是( k - j - 1) * height = 7;
...
i = 3, j = 2, k = 5 面積是 ( k - j - 1) * height = 8
枚舉出所有的長方形的同時，然後得到最後的面積。
不過這樣的程式的時間複雜度是 O(n^2)
我們如何能僅僅做一次，就求出這個面積呢？
觀察：
當我們掃掃描到第一個高度 H1 = 2的時候，我可以標記它的起始位置1， 因為我們還不知道它將向右擴充套件到什麼地方，所以繼續掃面。
當遇到第二項 H2 = 1, 因為這項比之前的小，我們知道，用H1做高度的長方形結束了，算出它的面積。
同時這個時候，我們多了一個高度H2，用它做長方形高度的長方形起始位置應該是在哪裡呢？ 因為H1的高度比H2要高，所以這個起始位置自然是H1所在的位置。
為了模擬上面的過程，我們引入單調棧~
我們先定義我們我們要儲存的每一項資料
struct Node
{
int height;
int startPosition;
};
用來描述某一個高度，和這個高度的起始位置。
然後我們按照高度來組織成單調棧。我們來看一下它是如何工作的。
為了不用考慮堆疊為空的情況，我們用插入棧底 一個高度（0， 0）的項。
資料：
2 1 4 5 1 3 3
這樣初始化
(0 , 0)
I = 1
當掃描到(2， 1）時候，因為高度2 大於棧頂，插入
(0, 0), (2, 1)
I = 2:
當掃描到1的時候，因為1小於棧頂高度2， 我們認為棧頂的那個高度應不能再向右擴充套件了，所以我們將它彈出
這個時候掃描到 i = 2;
高度是 (i - 1(H1.startIndex)) * H1.height = 2;
我們得到一個面積是2的長方形。
同時我們發現高度是1的當前高度，可以擴充套件到 H1所在的下標，所以我們插入( 1, 1) 堆疊變成
(0, 0), (1, 1) 因為(2, 1)已經不能向右伸展了，已經被彈出了
i = 3
(0, 0), (1, 1), ( 4 3)
i = 4
(0, 0), (1, 1), (4, 3), (5, 4)
i = 5
這個時候當前高度小於棧頂高度，我們認為棧頂已經不能向右擴充套件，所以彈出，並且獲得面積 ( i - H5.startindex) * H5.height = (5 - 4 ) * 5 = 5
彈出這個元素後，其實(4, 3)的高度也要比 1 大，所以把這個也彈出來，同樣方式獲得面積 8.
最後我們的堆疊是
(0, 0) , (1, 1)
i = 6
(0, 0), (1, 1), ( 3, 6)
i = 7
(0, 0), (1, 1), (3, 6)
i = 8
最後一步是有點特殊的，因為我們必須要把所有的元素都彈出來，因為棧裡面的高度，都堅持到了最後，我們要把這些高度組成的長方形拿出來檢測。
我們可以假設掃面到8的時候，高度是0,（最小值）
彈出(3,6)獲得面積 (8 - 6 ) * 3 = 6
彈出(1, 1)獲得面積(8 - 1) * 1 = 7
最後的面積是8.
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 100005;
struct Elem
{
int height;
int count;
};
Elem stack[N];
int top;
int main()
{
int height, n;
long long ans, tot, tmp;
while (scanf("%d", &n) != EOF && n)
{
top = 0;
ans = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
scanf("%d", &height);
tmp = 0;
while (top > 0 && stack[top - 1].height >= height)
{
tot = stack[top - 1].height * (stack[top - 1].count + tmp);
if (tot > ans) ans = tot;
tmp += stack[top - 1].count;
--top;
}
stack[top].height = height;
stack[top].count = 1 + tmp;
++top;
}
tmp = 0;
while (top > 0)
{
tot = stack[top - 1].height * (stack[top - 1].count + tmp);
if (tot > ans) ans = tot;
tmp += stack[top - 1].count;
--top;
}
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}題目簡述
題目的描述很簡單，在一個M * N的矩陣中，所有的元素只有0和1， 找出只包含1的最大矩形。
例如：圖中是一個４ × ６的矩形，畫出紅色的是我們要找到的區域。
最開始見過這個題目是在看一個人寫的面經裡面，當時完全沒有感覺，不知道怎麼做。後來知道了一個東西叫單調棧然後做了一些題，居然發現POJ上的這個題目，和那個面試題一模一樣。
所以就研究明白，分享一下。
題目分析：
這題目如果用暴力做的話，方法是很顯然的，對圖中的任意點，(i, j)， 向它的右下側找到一個右下端點( r, u), 然後檢測方塊 (i, j) -> (r, u) 是不是全1. 如果是全1， 我們就找到一個合適的矩形1. 在列舉的同時更新找到最大矩形。
如果這樣的話，列舉複雜度是O(M * N)， 找下端點 複雜度是 O (M * N), 然後檢測的複雜度也是 O(M*N) 最後演算法的複雜度是 O(M^3 * N^3)
顯然這個複雜度過了點。
仔細觀察發現（這個思路也是別人提醒的，感覺自己現在依然不能很準確的建模）：
因為我們要找的是矩形，所以它一定是以 某個行元素開始的，如果列舉行的時候，我們會發現：
對於第一行：
對於第二行：
第三行：
第四行：
這樣的話，其實我們要找到的某個矩形就轉換成 一某一個行開始的 histogram的最大矩形問題了。
那麼我們原始矩形可以變成如下的形式的資料：
第一行表示，我們以第一行作為底邊，所形成的 histogram的高度，其他行也類似。
所以問題變成了 列舉每一行，然後求出每一行對應的histogram的最大矩形。
關於histogram求最大矩形
因為到了這裡以後，基本的原理和histogram是一樣的，所以就不再重複了。