原文連結： http://www.xqbase.com/computer/search_minimax.htm總結兩點：1. 深度優先搜尋，只有在葉子節點計算評估分。
2. max和min層只負責從分支中，選擇最大或者最小的評分。


《對弈程式基本技術》專題 最小-最大搜索 Bruce Moreland / 文 　從淺顯的地方開始　　　在國際象棋裡，雙方棋手都知道每個棋子在哪裡，他們輪流走並且可以走任何合理的著法。下棋的目的就是將死對方，或者避免被將死，或者有時爭取和棋是最好的選擇。　　國際象棋程式通過使用“搜尋”函式來尋找著法。搜尋函式獲得棋局資訊，然後尋找對於程式一方來說最好的著法。　　一個淺顯的搜尋函式用“樹狀搜尋”(Tree-Searching)來實現。一個國際象棋棋局通常可以看作一個很大的n叉樹(“n叉樹”意思是樹的每個結點有任意多個分枝通向其他結點)，棋盤上目前的局面就是“根局面”(Root Position)或“根結點”(Root Node)。從根局面走一步棋，局面就到達根局面的“分枝”(Branch)，這些局面稱為“後續局面”(Successor Position)或“後續結點”(Successor Nodes)。每個後續局面後面還有一系列分枝，每個分枝就是這個局面的一個合理的著法。　　國際象棋的樹非常龐大(通常每個局面有35個分枝)，又非常深。　　每盤棋局都是一棵巨大的n叉樹，如果能通過樹狀搜尋找到棋局中對雙方來說都最好的著法就好了。這個淺顯的演算法在這裡稱為“最小-最大搜索”(Min-max Search)。　　用最小-最大搜索來解諸如井字棋的簡單棋局是可行的(即完全瞭解每一種變化)。井字棋的博弈樹既不煩瑣也不深，所以整個樹可以遍歷，棋局的所有變化都可以知道，任何局面都可以保證找到一步最佳著法。　　數學上用這種方法處理國際象棋也是可以的，但是目前和不久的將來用計算機去實現，卻是不可行的。即便如此，我們仍然可以用基於最小-最大搜索的程式來下國際象棋。相比最小-最大地搜尋整個樹，在一個給定的局面下搜尋前幾步則是可能的。由於葉子結點的局面沒能搜尋出殺棋或和棋，所以要用一個稱為“評價”(Evaluate)的啟發函式給這些局面賦值。儘管程式設計師希望這些值能夠通過知識來得到，但它們確實都是猜的。　基於最小-最大的評價函式

　　　我不打算在這裡談很多關於評價函式的細節。這裡我只說明它是怎樣確定的，在以後的章節中會詳細展開。評價函式首先應該返回局面的準確值，在沒辦法得到準確值的情況下，如果可能的話啟發值也可以。它可以由兩種方法來決定：　　(1) 如果黑方被將死了，那麼評價函式返回一個充分大的正數；如果白方被將死了，那麼返回一個充分大的負數；如果棋局是和棋(例如某一方逼和，或者雙方都只有王)，那麼返回一個常數，通常是零或接近零。如果不是棋局結束局面，那麼它返回一個啟發值。我將不詳細介紹這個啟發值是如何確定的，但是我有把握說子力平衡是首先要考慮的(如果白方盤面上多子的話，這個值就大)，而其他位置上的考慮(兵型、王的安全性、重要的子力等等)也需要加上。如果白方是贏棋或者很有希望贏，那麼啟發函式通常會返回正數；如果黑方是贏棋或者很有希望贏，那麼返回負數；如果棋局是均勢或者是和棋，那麼返回在零左右的數值。　　(2) 這個函式的工作原理跟第一個一樣，只是如果當前局面要走子的一方優勢，那麼它返回正數，反之是負數。　最小-最大搜索是如何運作的　　　最小-最大搜索是一對幾乎一樣的函式，或者說兩個邏輯上重複的函式。我寫了很少的程式碼，用一個更好的函式來完成同一件事，但是寫出來時卻收到一些意見，因此我首先寫出純粹的(不完美的)最小-最大函式，程式碼如下：　int MinMax(int depth) {　if (SideToMove() == WHITE) {　// 白方是“最大”者　　return Max(depth);　} else {　　　　　　　　　　　// 黑方是“最小”者　　return Min(depth);　}}　int Max(int depth) {　int best = -INFINITY;　if (depth <= 0) {　　return Evaluate();　}　GenerateLegalMoves();　while (MovesLeft()) {MakeNextMove();　　val = Min(depth - 1);UnmakeMove();　　if (val > best) {　　　best = val;　　}　}　return best;}　int Min(int depth) {　int best = INFINITY;　// 注意這裡不同於“最大”演算法　if (depth <= 0) {　　return Evaluate();　}　GenerateLegalMoves();　while (MovesLeft()) {　　MakeNextMove();　　val = Max(depth - 1);　　UnmakeMove();　　if (val < best) { 　// 注意這裡不同於“最大”演算法　　　best = val;　　}　}　return best;}　　　上面的程式碼可以這樣呼叫：　val = MinMax(5);　　　這樣可以返回當前局面的評價，它是向前看5步的結果。　　這裡的“評價”函式用的是我上面所說第一種定義，它總是返回對於白方來說的局面。　　我簡要描述一下這個函式是如何運作的。假設根局面(棋盤上當前局面)是白方走，那麼呼叫的是“Max”函式，它產生白方所有合理著法。在每個後續局面中，呼叫的是“Min”函式，它對局面作出評價並返回。由於現在是白走，因此白方需要讓評價儘可能地大，能得到最大值的那個著法被認為是最好的，因此返回這個著法的評價。　　“Min”函式正好相反，當黑方走時呼叫“Min”函式，而黑方需要儘可能地小，因此選擇能得到最小值的那個著法。　　這兩個函式是互相遞迴的，即它們互相呼叫，直到達到所需要的深度為止。當函式到達最底層時，它們就返回“Evaluate”函式的值。　　如果在深度為1時呼叫“MinMax”函式，那麼“Evaluate”函式在走完每個合理著法之後就呼叫，選擇一個能達到最佳值的那個著法導致的局面。如果層數大於1，那麼另一方有權選擇局面，並找一個最好的。　　以上內容應該不難理解，但是程式碼很長，下面有個更好的辦法。　負值最大函式　　　負值最大隻是對最小-最大的優化，“評價”函式返回我所說的第二種定義，對於當前結點上要走的一方，佔優的情況返回正值，其他結點也是對於要走的一方而言的。這個值返回後要加上負號，因為返回以後就是對另一方而言了。程式碼如下：　int NegaMax(int depth) {　int best = -INFINITY;　if (depth <= 0) {　　return Evaluate();　}　GenerateLegalMoves();　while (MovesLeft()) {　　MakeNextMove();　　val = -NegaMax(depth - 1); // 注意這裡有個負號。　　UnmakeMove();　　if (val > best) {　　　best = val;　　}　}　return best;}　　　在這個函式裡，當走子一方改變時就要對返回值取負值，以反映當前局面評價的更改。就根結點是白先走的情況，如果沒有剩下的層數，那麼“評價”返回的值是就白方而言的，如果有剩下的層數，就產生後續局面，函式對這些局面逐一做遞迴，每個次遞迴都得到就黑方而言的評價，黑方走得越好值就越大。當評價值返回時，它們被取負數，變成就白方而言的評價。　　該函式在遍歷時結點的順序同“最小-最大”搜尋的函式是一樣的，產生的返回值也一樣。它的程式碼更短，同時減少了移植程式碼時出錯的可能，程式碼維護起來也比較方便。　　　原文：http://www.seanet.com/~brucemo/topics/minmax.htm　　譯者：象棋百科全書網 ([email protected])　　型別：全譯