看資料結構的時候，書裡面說對於隨機輸入的序列，BST的期望深度是log(n),當時沒當一回事（其實是證明看不懂），這兩天覆習二叉搜尋樹遇到樹堆（treap）又回去翻了一下證明過程，其實還蠻簡單的。

   總結起來也就一句話：

   只要保證BST的任意子樹的根節點選取是隨機的，那麼這顆樹的期望深度就必然是log(n).

證明如下：

 1.首先要定義一個概念——內部路徑長（D（N）），也就是一個樹內每個節點的深度和，平均一下也就得到了一棵樹的期望深度。

  D(N) = D(M) - D(N-M-1) + N-1 一顆樹的路徑長 = 左子樹的路徑長 + 右子樹的路徑長 + N-1 (子樹的節點個數）

 假如 M 取任意值的概率一樣(1/N)，那麼有:

這個通項公式最終規模是D(N) = O(NlogN)的。

2.對於隨機輸入的資料，任意值為根的概率是一樣的。

（1）排在第一位的值必然為根，由於輸入資料隨機，那麼為排在第一的數自然是隨機的。

3.treap樹

我們知道優先順序最小的資料必然是根（堆序性），並且treap的優先順序是隨機給予的，那麼一個數有最小優先順序的概率自然是相等的，那麼自然的，任一值被選取為根的概率是相同的，自然treap樹的平均深度為logN。