也談壓縮感知（compressive sensing）

阿新 • • 發佈：2019-02-14

CS framework：三個核心公式

壓縮感知框架所要解決的是訊號取樣問題，如一個 N 維的訊號 x∈RN×1，與傳統的訊號取樣的方法不同，我們不是對 x 直接進行 N 次取樣，而是對其進行 M 次觀測（已知 M<N）。這可表示為如下的欠定系統：

y=Φx
y∈RN×1 就是所謂的觀測向量（measured vector），Φ∈RM×N是隨機觀測矩陣（random measurement matrix）。

壓縮感知的理論要求，在給定觀測值 y 和觀測矩陣 Φ 的條件下，要想唯一地重建出原始訊號 x，x 必須在某一給定的一組基 Ψ 下是稀疏的。這意味著：

x=Ψs
s 就是所謂的 K

−sparse，也即 s 中最多有 K 個顯著不為零的元素。基（basis） Ψ 可以是完備的（complete），也即 Ψ∈RN×N，也可以是超完備的（overcomplete），也即 Ψ∈RN×N1，其中 N<N1。由以上兩等式可得：
y=As
其中 A=ΦΨ。

因為只有一個觀察向量 y，以上問題又被稱作單觀測向量問題（SMV，Single Measurement Vector）在壓縮感知的理論體系中。

有單觀測向量問題，自然也就有多觀測向量問題（MMVs，Multiple Measurement Vectors），其要解決的問題是，從 L

個觀察向量的集合 {yi}i=1,2,⋯,L 中重建 L 個稀疏向量的集合 {si}i=1,2,⋯,L。