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1. 特徵的不變性

何謂特徵？

每個物體，我們總可以用一些詞語或部件來描述它，比如人臉的特徵：兩個眼睛、一個鼻子和一個嘴巴。對於影象而言，我們需要計算機去理解影象，描述影象就需要計算機去取得影象的特徵，對影象比較全面的描述即一個二維矩陣，矩陣內的每個值代表影象的亮度。有時候我們需要讓計算機更簡化的來描述一個影象，抓住一些顯著特徵，這些特徵要具有一些良好的性質，比如區域性不變性。區域性不變性一般包括兩個方面：尺度不變性與旋轉不變性。

- 尺度不變性：人類在識別一個物體時，不管這個物體或遠或近，都能對它進行正確的辨認，這就是所謂的尺度不變性。尺度空間理論經常與生物視覺關聯，有人也稱影象區域性不變性特徵為基於生物視覺的不變性方法。

- 旋轉不變性：當這個物體發生旋轉時，我們照樣可以正確地辨認它，這就是所謂的旋轉不變性。

2. 區域性不變特徵

全域性特徵：從整個影象中抽取的特徵。較多的運用在影象檢索領域，如影象顏色直方圖。

區域性特徵：從影象的區域性區域中抽取的特徵（這個區域性區域往往是影象中的一個畫素及它周圍的鄰域）。

一種好的區域性特徵應該具有下面的特性：

1. 可重複性：同一個物體在不同時間，不同角度拍到影象中，檢測到的特徵對應的越多越好。
2. 獨特性：特徵在該物體上表現為獨特性，能與場景下其他物體區分。
3. 區域性性：特徵往往是物體某個區域性的特點，這樣才可以避免遮擋時不能匹配的問題。
4. 數量性：檢測到的特徵數目一定要多，密集度最好能在一定程度上反映影象的內容。
5. 準確性：得到的特徵應該能被精確定位，能夠精確到畫素。
6. 高效性：特徵檢測演算法運算要快。

為了研究影象的尺度不變特徵，我們需要先從影象的尺度空間理論開始。

3. 影象尺度空間理論

當用一個機器視覺系統分析未知場景時，計算機沒有辦法預先知識影象中物體尺度，因此，我們需要同時考慮影象在多尺度下的描述，獲知感興趣物體的最佳尺度。

所以在很多時候，我們會在將影象構建為一系列不同尺度的影象集，在不同的尺度中去檢測我們感興趣的特徵。比如：在Harr特徵檢測人臉的時候，因為我們並不知道影象中人臉的尺寸，所以需要生成一個不同大小的影象組成的金字塔，掃描其中每一幅影象來尋找可能的人臉。

3.1 金字塔解析度

影象金字塔化的一般步驟：首先，影象經過一個低通濾波器進行平滑（這個步驟會使影象變模糊，好像模仿人的視覺中遠處的物體沒有近處的清晰的原理），然後，對這個平滑後的影象進行抽樣（一般抽樣比例在水平和豎直方向上都為1/2），從而得到一系列的縮小的影象。

假設高斯金字塔的第 l 層影象為Gl，則有：

式中，N為高斯金字塔頂層 撥動號；Rl和Gl分別為高斯金字塔第l層的行數和列數；ω(m,n)是一個二維可分離的5×5視窗函式，表示式為：

寫成上面的形式是為了說明，二維視窗的卷積運算元，可以寫成兩個方向上的1維卷積核（二項核）的乘積。上面卷積形式的公式實際上完成了2個步驟：1）高斯模糊；2）降維。

按上述步驟生成的G0,G1,…,GN就構成了影象的高斯金字塔，其中G0為金字塔的底層(與原影象相同)，GN為金字塔的頂層。可見高斯金字塔的當前層影象是對其前一層影象先進行高斯低通濾波，然後做隔行和隔列的降取樣(去除偶數行與偶數列)而生成的。當前層影象的大小依次為前一層影象大小的1/4。即左邊的金字塔。

下面是用OpenCV中的影象金字塔相關函式寫的一個生成影象金字塔的示例程式。程式中，不但生成了影象金字塔，而且生成了影象的拉普拉斯金字塔（接下來的內容）。

enum pyrType { PYR_GUASS, PYR_LAPLACE };
void genPyr(const Mat& imgSrc, vector<Mat>& outPutArray, int TYPE, int level)
{
    outPutArray.assign(level + 1, Mat());
    outPutArray[0] = imgSrc.clone(); // the 0 level is the image. 
    for (int i = 0; i != level; i++)
    {
        pyrDown(outPutArray[i], outPutArray[i + 1]);
    }
    if (PYR_GUASS == TYPE)
    {
        return;
    }
    for (int i = 0; i != level; i++)
    {
        Mat UpSampleImg;
        pyrUp(outPutArray[i + 1], UpSampleImg, outPutArray[i].size());
        outPutArray[i] -= UpSampleImg;
    }
}

3.2 影象的拉普拉斯金字塔

將GlGl進行內插（這裡內插用的不是雙線性而是用的與降維時相同的濾波核）得到放大影象G∗l，使G∗l

的尺寸與Gl−1的尺寸相同，表示為：