約瑟夫環問題：一圈共有N個人，開始報數，報到M的人自殺，然後重新開始報數，問最後自殺的人是誰？

如圖：內環表示人排列的環，外環表示自殺順序；上面N=41,M=3。

最普通辦法就是模擬整個過程：建一個bool陣列，true表示此人還活著，false表示已經自殺。可以模擬整個過程

1. #include<iostream>
2. usingnamespace std;  
3. int main()  
4. {  
5.     int N;//人的總個數
6.     int M;//間隔多少個人
7.     cin>>N;  
8.     cin>>M;  
9.     bool *p=new
   bool[N+1];//[1……N]為true表示此人還活著
10.     for (int i=1; i <= N; i++)  
11.         *(p+i)=true;  
12.     int count=0;//統計自殺的人數
13.     for (int i=1, j=0; ;i++)//i用來表示迴圈，j用來計算是不是第N個人
14.     {  
15.         if (*(p+i))//此人還活著
16.         {  
17.             j++;  
18.             if (j == M)  
19.             {  
20.                 *(p+i)=false;  
21.                 j=0;  
22.                 count++;//統計自殺的人
23.             }  
24.             if (count == N)  
25.             {  
26.                 cout<<"最後自殺的人是："<<i<<endl;  
27.                 break;  
28.             }  
29.         }  
30.         if(i == N)  
31.             i=0;  
32.     }  
33.     delete []p;  
34.     return 0;  
35. }  

把問題重新描述一下：N個人（編號0~(N-1))，從0開始報數，報到(M-1)的自殺，剩下的人繼續從0開始報數。求最後自殺者的編號。

N個人編號如下：

第一個自殺的人是（M-1）%N，例如上圖中，41個人中，報到3的人自殺，則字一個自殺的人的編號是（3-1）%41=2。編號（M-1)%N自殺後，剩下的人排列如下：

有人自殺後，下一個位置M又從零開始報數，因此環應該如下：

將上面的排列順序重新編號：

問題變為（N-1）個人，報到為（M-1）的人自殺，問題規模減小了。

我們定義F(N-1)為總數為N-1個人時，最後自殺的人的序號。根據上面的對比，F(N-1)可以看成是N個人自殺掉一個之後重新編碼組成的新問題，與重新編碼之前的序號對比多了一個M，那麼F(N-1) + M就相當於是N個人自殺掉一個之後，接著繼續自殺到最後一個的序號。即F(N) = [F(N-1) + M]%N. 

這樣一直進行下去，最後剩下編號為0的人。用函式表示：

F(1)=0

當有2個人的時候（N=2），報道（M-1）的人自殺，最後自殺的人是誰？應該是在只有一個人時，報數時得到的最後自殺的序號加上M，因為報到M-1的人已經自殺，只剩下2個人，另一個自殺者就是最後自殺者，用函式表示：

F(2)=F(1)+M

可以得到遞推公式：

F(i)=F(i-1)+M

因為可能會超出總人數範圍，所以要求模

F(i)=(F(i-1)+M)%i

有了遞推公式就可以在O（N）時間求出結果：

1. #include<iostream>
2. usingnamespace std;  
3. int main()  
4. {  
5.     int N;//人的總個數
6.     int M;//間隔多少個人
7.     cin>>N;  
8.     cin>>M;  
9.     int result=0;//N=1情況
10.     for (int i=2; i<=N; i++)  
11.     {  
12.         result=(result+M)%i;  
13.     }  
14.     cout<<"最後自殺的人是："<<result+1<<endl;//result要加1
15.     return 0;  
16. }