求一個數的平方根函式sqrt(int num) ,在大多數語言中都提供實現。那麼要求一個數的平方根，是怎麼實現的呢？

實際上求平方根的演算法方法主要有兩種：二分法(binary search)和牛頓迭代法(Newton iteration)

1：二分法

求根號5

a:折半：       5/2=2.5

b:平方校驗:  2.5*2.5=6.25>5，並且得到當前上限2.5

c:再次向下折半:2.5/2=1.25

d:平方校驗：1.25*1.25=1.5625<5,得到當前下限1.25

e:再次折半:2.5-(2.5-1.25)/2=1.875

f:平方校驗：1.875*1.875=3.515625<5,得到當前下限1.875

每次得到當前值和5進行比較，並且記下下下限和上限，依次迭代，逐漸逼近平方根：

import math
from math import sqrt

def sqrt_binary(num):
	x=sqrt(num)
	y=num/2.0
	low=0.0
	up=num*1.0
	count=1
	while abs(y-x)>0.00000001:
		print count,y
		count+=1		
		if (y*y>num):
			up=y
			y=low+(y-low)/2
		else:
			low=y
			y=up-(up-y)/2
	return y

print(sqrt_binary(5))
print(sqrt(5))
 

執行結果：

1 2.5
2 1.25
3 1.875
4 2.1875
5 2.34375
6 2.265625
7 2.2265625
8 2.24609375
9 2.236328125
10 2.2314453125
11 2.23388671875
12 2.23510742188
13 2.23571777344
14 2.23602294922
15 2.23617553711
16 2.23609924316
17 2.23606109619
18 2.23608016968
19 2.23607063293
20 2.23606586456
21 2.23606824875
22 2.23606705666
23 2.2360676527
24 2.23606795073
25 2.23606809974
26 2.23606802523
27 2.23606798798
2.23606796935
2.2360679775
[Finished in 0.1s]

經過27次二分法迭代，得到的值和系統sqrt()差別在0.00000001，精度在億分之一，

0.001需要迭代8次

因此，在對精度要求不高的情況下，二分法也算比較高效的演算法。

2：牛頓迭代

仔細思考一下就能發現，我們需要解決的問題可以簡單化理解。 從函式意義上理解：我們是要求函式f(x) = x²，使f(x) = num的近似解，即x² - num = 0的近似解。 從幾何意義上理解：我們是要求拋物線g(x) = x² - num與x軸交點（g(x) = 0）最接近的點。 我們假設g(x0)=0，即x0是正解，那麼我們要做的就是讓近似解x不斷逼近x0，這是函式導數的定義：
可以由此得到



從幾何圖形上看，因為導數是切線，通過不斷迭代，導數與x軸的交點會不斷逼近x0。

對於一般情況：

將m=2代入：

def sqrt_newton(num):
	x=sqrt(num)
	y=num/2.0
	count=1
	while abs(y-x)>0.00000001:
		print count,y
		count+=1
		y=((y*1.0)+(1.0*num)/y)/2.0000
	return y

print(sqrt_newton(5))
print(sqrt(5))

執行結果：

1 2.5
2 2.25
3 2.23611111111
2.23606797792
2.2360679775

精確到億分之一，牛頓法只迭代了3次，是二分法的十倍

3：利用牛頓法求開立方

def cube_newton(num):
	x=num/3.0
	y=0
	count=1
	while abs(x-y)>0.00000001:
		print count,x
		count+=1
		y=x
		x=(2.0/3.0)*x+(num*1.0)/(x*x*3.0)
	return x

print(cube_newton(27))	

微積分、概率、線代是高階演算法的基礎課。可是，這麼多年，已經忘得差不多了..............................