在leetcode練習時，碰到一道經典的面試題，如何實現sqrt()開平方函式。當然，很簡單的是呼叫系統函式，但是難道不能自己實現這個函式的功能嗎？於是一番思索和查閱資料，看到下面的方法。

二分法求解

二分法這個應該很熟悉，在二分查詢演算法中就有具體的體現。應用在此題上，也是合適不過的。
首先分析一下這道題：
實現sqrt函式功能，求一個數的開平方，即求$f(x) = x^2 - N$這個函式$f(x) = 0$的非負解。

• 原理
  二分法的原理很簡單，就是通過縮減區間來確定解的位置。通過圖來說明：
  
• 實現步驟
  • 選擇區間[a, b]，f(a)與f(b)異號。
  • 獲得區間中值mid，以及f(mid)值。
  • 若f(a) * f(mid) < 0，即f(a)與f(mid)異號，取新區間[a, mid]。相反，取區間[mid, b]。
  • 重複上兩步操作，直到達到型別精度停止。
• 程式碼實現

int BisectionSqrt(int x)
{
	double low = 0, high = x + 0.25, mid = (low + high) / 2;
	while (mid - low > DBL_EPSILON && high - mid > DBL_EPSILON)  // 精度
	{
		if ((mid * mid - x) * (low * low - x) < 0)
			high = mid;
		else low = mid;
		mid = (high + low) / 2;
	}
	return int(mid);
}
 

注：

初始上界為x + 0.25，而非x。（這一點我不是很懂，希望大佬指點）

牛頓迭代法

看概念：
又稱為牛頓-拉弗森方法（英語：Newton-Raphson method），它是一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。方法使用函式$f(x)$的泰勒級數的前面幾項來尋找方程 $f(y) = 0$的根。
可以看出滿足上面的題目分析，可以求得根。

• 原理步驟
  選擇一個接近函式$f(x)$零點的 $x_0$，計算相應的$f(x_0)$和切線斜率 $f&#x27;(x_0)$（這裡$f&#x27;$表示函式 $f$的導數）。然後我們計算穿過點 $f(x_0)$並且斜率為$f&#x27;(x_0)$的直線和$x$軸的交點的x座標，也就是求如下方程的解：
  $0 = (x - x_0) * f&#x27;(x_0) + f(x_0)$
  我們將新求得的點的$x$座標命名為 $x_1$，通常$x_1$會比 $x_0$更接近方程 $f(x)=0$的解。因此我們現在可以利用$x_1$開始下一輪迭代。迭代公式可化簡為如下所示：
  $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f&#x27;(x_n)}$
• 圖示
  
  將上述的迭代式進行化簡：
  因為要求的是開平方的解，所以$f&#x27;(x_n)$為$2x_n$，同時將$f(x_n) =x_n^2 - N$帶入公式$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f&#x27;(x_n)}$中，可以化簡得到：$x_{n+1} = (x_n + N/x_n) / 2$
• 程式碼實現

int NewtonSqrt(int x) {
	if (x == 0) return 0;
	double result = 1, pre = 0;
	while (result != pre)
	{
		pre = result;
		result = (result + x / result) / 2;
	}
	return int(result);
}