牛頓迭代法解非線性方程matlab實現
阿新 • • 發佈：2018-12-26
1．功能
本程式採用牛頓法，求實係數高次代數方程
f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=０ （an≠０）（1）
的在初始值x0附近的一個根。
2.使用說明
（1）函式語句
Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1) 呼叫M檔案newton_1.m。
（2）引數說明
A n+1元素的一維實陣列，輸入引數，按升冪存放方程係數。
N 整變數，輸入引數，方程階數。
X0 實變數，輸入引數，初始迭代值。
NN 整變數，輸入引數，允許的最大迭代次數。
EPS1 實變數，輸入引數，控制根的精度。
3．方法簡介
解非線性議程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x)在x0點附近展開成泰勒級數
f(x)=f(x0)+(x－x0)fˊ(x0)+(x－x0)2 +… 取其線性部分，作為非線性方程f(x)=0的近似方程，則有
f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)=0 設fˊ(x0)≠0則其解為
x1=x0－f(x0)/fˊ(x0) 再把f(x)在x1附近展開成泰勒級數，也取其線性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，則得
x2=x1－f(x1)/fˊ(x1) 這樣，得到牛頓法的一個迭代序列
xn+1=xn－f(xn)/fˊ(xn) 4．newton_1.m程式
function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
x(1)=x0；
b=1；
i=1；
while(abs(b)>eps1*x(i))
i=i+1；
x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；
b=x(i)-x(i-1)；
if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；
return；
end
end
y=x(i)；
i
程式中呼叫的n_f.m和n_df.m檔案如下：
function y=n_df(a,n,x)%方程一階導數的函式
y=0.0;
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
end
function y=n_df(a,n,x)
y=0.0；
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+１-i)*x?(n-i)；
end
5．程式附註
（1）程式中呼叫n_f.m和n_df.m檔案。n_f.m是待求根的實數代數方程的函式,n_df.m是方程一階導數的函式。由使用者自己編寫。
（2）牛頓迭代法的收斂速度：如果f(x)在零點附近存在連續的二階微商，ξ是f(x)的一個重零點，且初始值x0充分接近於ξ，那麼牛頓迭代是收斂的，其收斂速度是二階的，即平方收斂速度。
6．例題
用牛頓法求下面方程的根
f(x)=x3+2x2+10x-20 7．執行結果
>>a=[1,2,10,-20] ；
>>n=3；
>>x0=1；
>>nn=1000；
>>eps1=1e-8；
>>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
y=
1.368808107821373e+000
i=
6
本程式採用牛頓法，求實係數高次代數方程
f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=０ （an≠０）（1）
的在初始值x0附近的一個根。
2.使用說明
（1）函式語句
Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1) 呼叫M檔案newton_1.m。
（2）引數說明
A n+1元素的一維實陣列，輸入引數，按升冪存放方程係數。
N 整變數，輸入引數，方程階數。
X0 實變數，輸入引數，初始迭代值。
NN 整變數，輸入引數，允許的最大迭代次數。
EPS1 實變數，輸入引數，控制根的精度。
3．方法簡介
解非線性議程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x)在x0點附近展開成泰勒級數
f(x)=f(x0)+(x－x0)fˊ(x0)+(x－x0)2 +… 取其線性部分，作為非線性方程f(x)=0的近似方程，則有
f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)=0 設fˊ(x0)≠0則其解為
x1=x0－f(x0)/fˊ(x0) 再把f(x)在x1附近展開成泰勒級數，也取其線性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，則得
x2=x1－f(x1)/fˊ(x1) 這樣，得到牛頓法的一個迭代序列
xn+1=xn－f(xn)/fˊ(xn) 4．newton_1.m程式
function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
x(1)=x0；
b=1；
i=1；
while(abs(b)>eps1*x(i))
i=i+1；
x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；
b=x(i)-x(i-1)；
if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；
return；
end
end
y=x(i)；
i
程式中呼叫的n_f.m和n_df.m檔案如下：
function y=n_df(a,n,x)%方程一階導數的函式
y=0.0;
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
end
function y=n_df(a,n,x)
y=0.0；
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+１-i)*x?(n-i)；
end
5．程式附註
（1）程式中呼叫n_f.m和n_df.m檔案。n_f.m是待求根的實數代數方程的函式,n_df.m是方程一階導數的函式。由使用者自己編寫。
（2）牛頓迭代法的收斂速度：如果f(x)在零點附近存在連續的二階微商，ξ是f(x)的一個重零點，且初始值x0充分接近於ξ，那麼牛頓迭代是收斂的，其收斂速度是二階的，即平方收斂速度。
6．例題
用牛頓法求下面方程的根
f(x)=x3+2x2+10x-20 7．執行結果
>>a=[1,2,10,-20] ；
>>n=3；
>>x0=1；
>>nn=1000；
>>eps1=1e-8；
>>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
y=
1.368808107821373e+000
i=
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