牛頓迭代法求解方程

說明：該篇部落格源於博主的早些時候的一個csdn部落格中的一篇，由於近期使用到了，所以再次作一總結。原文地址

概述

牛頓迭代法（Newton’s method）又稱為牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。

設r是 f(x)=0 的根，選取 x0作為r的初始近似值，過點 (x0,f(x0) 做曲線y=f(x)的切線L，L的方程為 y=f(x0)+f′(x0)(x−x0) ，求出L與x軸交點的橫座標 x1=x0−f(x0)f′(x0)，稱x1為r的一次近似值。
過點(x1,f(x

1))做曲線 y=f(x) 的切線，並求該切線與x軸交點的橫座標 x2=x1−f(x1)f′(x1)，稱x2為r的二次近似值。重複以上過程，得r的近似值序列，其中，xn+1=xn−f(xn)f′(xn) 稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

實際上牛頓迭代法就是將非線性的問題轉化為線性問題再做處理。將非線性函式在小範圍內用他的一階泰勒級數表示（也就是在某點泰勒展開取低階項）。

求解步驟：
1. 原函式：f(x)=xm−a
2. 原函式的導函式：f′(x)=mxm−1
3. 使用牛頓迭代公式xn+1=xn−f(xn)f′(xn

)：

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)=xn−xmn−amxm−1n

求解平方根也就是求解函式f(x)=x2−a，f(x)=0 的根。根據上述的求解過程f′(x)=2x ，帶入牛頓迭代公式：

xn+1=x