結論：迭代序列： x (n+1）=  x (n）－ f ( x(n) ) / f '( x(n) ）

（附C++程式碼）

(通過不斷作切線找切線與x軸交點重複，交點不斷向根逼近）

牛頓迭代法：在實數和複數域求方程的近似根，由泰勒級數前幾項尋找

計算方法：

設 x 是 f(x) = 0的根，選取 x0 作為 x 初始近似值，過點（ x0, f(x ) ）做曲線y = f(x）的切線L，則L的方程為y = f(x0)+f '(x0)(x-x0），求出L與x軸交點的橫座標 x1 = x0-f(x0) / f '(x0），稱 x1為x的一次近似值。過點（x1 , f(x1)）做曲線y = f(x）的切線，並求該切線與x軸交點的橫座標 x2 = x1-f(x1）/ f '(x1）

解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x）在x0點附近展開成泰勒級數 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其線性部分（一次），作為非線性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 設f'(x0）≠0則其解為x1=x0－f(x0)/f'(x0) 這樣，得到牛頓法的一個迭代序列：x(n+1）= x(n）－f(x(n) ) / f '(x(n) ）。

//求3元一次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解

//比如 x^3-27=0，我們就可以輸入1 0 0 -27，這樣我們就可以得到一個解

#include<iostream>

#include<cmath>

using namespace std;

double diedai(double a,double b,double c,double d,double x)

{
    while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001）

       x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/（3*a*x*x+2*b*x+c);

    return x;
}

int main()

{
   

    double a,b,c,d;

    double x=10000.0;

    cout<<"請依次輸入方程四個係數：";

    cin>>a>>b>>c>>d;

    x=diedai(a,b,c,d,x);

    cout<<x<<endl;
    
    return 0;
}
 

迭代法：又稱輾轉法，通過變數的舊值 推導新值的方法

如輾轉相除法：最大公因數：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

證：設a=kb+r,則r=a-kb,設m為a,b的公因數，則a%m=b%m=0;所以r%m=0，所以m為a%b的公因數。

反之，設m為b,a mod b的公因數，則a%m=0，所以m為a的公因數。

所以a,b的公因數與b,a mod b的公因數相同，所以最大公因數也相同