起源[編輯]

牛頓法最初由艾薩克·牛頓在《流數法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛頓死後的1736年公開發表）。約瑟夫·拉弗森也曾於1690年在中提出此方法。

方法說明[編輯]

藍線表示方程f而紅線表示切線. 可以看出x_n+1比x_n更靠近f所要求的根x.

首先，選擇一個接近函式零點的，計算相應的和切線斜率（這裡表示函式的導數）。然後我們計算穿過點並且斜率為的直線和軸的交點的座標，也就是求如下方程的解：

我們將新求得的點的座標命名為，通常會比更接近方程的解。因此我們現在可以利用開始下一輪迭代。迭代公式可化簡為如下所示：

已經證明，如果是

連續的，並且待求的零點是孤立的，那麼在零點周圍存在一個區域，只要初始值位於這個鄰近區域內，那麼牛頓法必定收斂。 並且，如果不為0, 那麼牛頓法將具有平方收斂的效能. 粗略的說，這意味著每迭代一次，牛頓法結果的有效數字將增加一倍。

利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作： 一、確定迭代變數 在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個可直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。 二、建立迭代關係式 所謂迭代關係式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關係）。迭代關係式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。 三、對迭代過程進行控制 在什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程式必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的迴圈來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析得出可用來結束迭代過程的條件。

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示例編輯

歐幾里德演算法

最經典的迭代演算法是歐幾里德演算法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b。假設d是a,b的一個公約數，則有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公約數 同理，假設d 是(b,a mod b)的公約數，則 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公約數。 因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。 歐幾里德演算法就是根據這個原理來做的，歐幾里德演算法又叫輾轉相除法，它是一個反覆迭代執行，直到餘數等於0停止的步驟，這實際上是一個迴圈結構。其演算法用C語言描述為： int Gcd_2(int a,int b)/*歐幾里德演算法求a,b的最大公約數*/ { if (a<=0 || b<=0)/*預防錯誤*/ return 0; int temp; while (b > 0)/*b總是表示較小的那個數，若不是則交換a，b的值*/ { temp = a % b;/*迭代關係式*/ a = b; b = temp; } return a; } 從上面的程式我們可以看到a，b是迭代變數，迭代關係是temp = a % b；根據迭代關係我們可以由舊值推出新值，然後迴圈執a = b; b = temp；直到迭代過程結束（餘數為0）。在這裡a好比那個膽小鬼，總是從b手中接過位置，而b則是那個努力向前衝的先鋒。

斐波那契數列

還有一個很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）數列。斐波那契數列為：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當n>2時）。 在n>2時，fib(n)總可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由舊值遞推出新值，這是一個典型的迭代關係，所以我們可以考慮迭代演算法。 int Fib(int n) //斐波那契（Fibonacci）數列 { if (n < 1）/*預防錯誤*/ return 0; if (n == 1 || n == 2)/*特殊值，無需迭代*/ return 1; int f1 = 1,f2 = 1,fn;/*迭代變數*/ int i; for(i=3; i<=n; ++i)/*用i的值來限制迭代的次數*/ { fn = f1 + f2; /*迭代關係式*/ f1 = f2;//f1和f2迭代前進，其中f2在f1的前面 f2 = fn; } return fn; }

4C語言程式碼編輯

double func(double x) //函式 { return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0; } double func1(double x) //導函式 { return 4*x*x*x-9*x*x+3*x; } int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次數 { double x1,x0; int k; x0=*x; for(k=0;k<maxcyc;k++) { if(func1(x0)==0.0)//若通過初值，函式返回值為0 { printf("迭代過程中導數為0!\n"); return 0; } x1=x0-func(x0)/func1(x0);//進行牛頓迭代計算 if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1））<precision) //達到結束條件 { *x=x1; //返回結果 return 1; } else //未達到結束條件 x0=x1; //準備下一次迭代 } printf("迭代次數超過預期！\n"); //迭代次數達到，仍沒有達到精度 return 0; } int main() { double x,precision; int maxcyc; printf("輸入初始迭代值x0:"); scanf("%lf",&x); printf("輸入最大迭代次數："); scanf("%d",&maxcyc); printf("迭代要求的精度："); scanf("%lf",&precision); if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1） //若函式返回值為1 printf("該值附近的根為：%lf\n",x); else //若函式返回值為0 printf("迭代失敗！\n"); getch(); return 0; }

5C++程式碼編輯

//此函式是用來求一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解 //比如 x^3-27=0，我們就可以輸入1 0 0 -27，這樣我們就可以得到一個解 #include<iostream> #include<cmath> using namespace std; int main() { double diedai(double a,double b,double c,double d,double x); double a,b,c,d; double x=10000.0; cout<<"請依次輸入方程四個係數："; cin>>a>>b>>c>>d; x=diedai(a,b,c,d,x); cout<<x<<endl; return 0; } double diedai(double a,double b,double c,double d,double x) { while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001） { x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/（3*a*x*x+2*b*x+c); } return x; }

6matlab程式碼編輯

定義函式

function y=f(x) y=f(x）；%函式f(x）的表示式 end function z=h(x) z=h(x）；%函式h(x）的表示式 end

主程式

x=X;%迭代初值 i=0;%迭代次數計算 while i<= 100%迭代次數 x0=X-f(X)/h(X);%牛頓迭代格式 if abs(x0-X)>0.01；%收斂判斷 X=x0; else break end i=i+1; end fprintf('\n%s%.4f\t%s%d'，'X='，X，'i='，i) %輸出結果